定义$\mathcal{A}（S）=TS$意味着$\mathcal{A{$和$T$共享相同的特征值。需要有关验证步骤的帮助。

Question

下面的练习来自第4版《线性代数做对了》，谢尔登·阿克斯勒在第5A节第37次练习。

假设V美元$是有限维的$T\in\mathcal{L}（V）$.定义$\mathcal{A}\in\mathcali{L}（\mathcal{L}（V））$通过

$$\数学{A}（S）=TS$$

对于每个$S\in\mathcal{L}（V）$.证明了$T（美元）$等于的特征值集$\mathcal{A}（美元）$.

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在这里，$\mathcal{L}（V）$是定义在向量空间上的线性算子集（向量空间）V美元$.

我就是这样想这个问题的：

让美元E_T$是的特征值集$T（美元）$然后让$E_｛\mathcal｛A｝｝$是的特征值集$\mathcal{A}（美元）$。我们想展示$E_T=E_｛\mathcal｛A｝｝$，这意味着显示

E_T中的$\lambda\$这样就存在一个非零$v\单位为v$哪里$Tv=λv$ 当且仅当 E_{\mathcal{A}}中的$\lambda\$这样就存在一个非零$S\in\mathcal{L}（V）$哪里$\mathcal{A}（S）=\lambda S$.

自V美元$是有限维的，它有一个基础$v_1，\ldot，v_n$.

以下是我迄今为止所展示的向后方向：

让E_{\mathcal{A}}中的$\lambda\$。这意味着存在非零$S\in\mathcal{L}（V）$这样的话$\mathcal{A}（S）=\lambda S$但根据定义$\mathcal{A}（美元）$，这意味着$\lambda S=TS$。总而言之$v\单位为v$，我们有

$$\λ（Sv）=T（Sv$$

我必须展示Sv美元$非零，但这是我有点困惑的地方。我必须展示吗$Sv\neq 0$对于每个非零$v（美元）$? 或者我可以选择一些非零向量（比如$v_1$因为它在基中），并得出存在非零的结论$Sv_1\单位：V$这样的话$\lambda（Sv_1）=T（Sv_1）$?

Answer 1

正如评论中所讨论的那样，已经显示了向后的方向。现在我显示前进方向。

让E_T中的$\lambda\$。这意味着存在非零$u\单位V$这样的话

$$Tu=\lambda u$$

我们想证明存在一个非零$S\in\mathcal{L}（V）$这样的话$\mathcal{A}（S）=\lambda S$.自$\mathcal{A}（S）=TS$，这相当于显示$（TS）v=（λS）v$为所有人$v\单位为v$.

使用$v_1，\ldot，v_n$基础V美元$，我们使用线性映射引理来定义$S\in\mathcal{L}（V）$通过

$$Sv_j=u$$

为所有人$j=1，\ldot，n$.显示美元$实际上是线性的，很容易显示，所以我省略了它。以下定义美元$意味着它不为零（否则，$S=0$暗示$Sv_j=0v_j=0=u美元$，反驳这一点$u（美元）$非零）。

此外，我们有任何$v\单位为v$,

$$v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n$$

对于一些标量$a_1，\ldot，a_n\in\mathbb{F}$（这里，$\mathbb｛F｝$是实数或复数的集合）。现在，观察一下

\开始｛align｝（TS）v=T（Sv）=T（S（a_1v_1+\cdots+a_nv_n））&=T（a_1Sv_1+\ cdots+a_nSv-n）\\&=T（a_1u+\cdots+a_nu）\\&=a_1Tu+\cdots+a_nTu\\&=a_1\lambda u+\cdots+a_n\lambda-u\\&=a_1\lambda Sv_1+\cdots+a_n\lambda-Sv_n\\&=\lambda S（a_1v_1+\cdots+a_nv_n）\\&=\lambda（Sv）\\&=（λS）v\结束{对齐}

以上说明$（TS）v=（λS）v$对于任何$v\单位为v$也就是说，$\mathcal{A}（S）=\lambda S$哪里美元$非零。这意味着美元\lambda$是的特征值$\mathcal{A}（美元）$因此，E_\mathcal{A}中的$\lambda\$.

通过显示两个方向，我们已经显示了$E_T=E_\数学{A}$.