定义序列$$a_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}}（\dfrac{\sin（k）}{k}\right）^{n}，b_n=\int_{0}^{infty}\left（\dfras{\sin^{n} dx公司，\四个n\in\mathbb{n}$$我想通过研究序列来看看这两个序列之间是否有关系$c_n=a_n-2b_n$.来自[1,2,三,4,5]，序列亿美元$完全理解为$$b_n=\frac{\pi}{2^n（n-1）！}\sum_{k=0}^{floor n/2\floor}（-1）^k{n\choose k}（n-2k）^{n-1}$$前几个值是$$b_1=b2=\frac{\pi}{2}，b_3=\frac{3\pi}}{8}，b_4=\fracc{\pi}{3}，b2=\fracc{115\pi}{384]，b_6=\frac{11\pi}[40}$$现在来看另一个序列，[6,7],$a_n$也是众所周知的，$$a_n=\frac{（-1）^{n}\pi}{2^{n{（n-1）！}\sum_{ell=-\lfloorn/（2\pi）\rfloor}^{floorn/$$序列的前几个值是$$a_1=a_2=\pi，a_3=\frac{3\pi}{4}，a_4=\frac{2\pi}{3}，a_5=\frac{115\pi}{192}，a _6=\ frac{11\pi}}{20}$$这意味着$c_｛n｝=0$对于$n=1,2,3,4,5,6美元$然而c_7\约0.0000185美元$这似乎与我们之前观察到的模式格格不入。为什么会这样$n=7$特别的是，为什么这是模式不同的第一个自然数？序列是否c_n美元$会聚？（如果是，则$a_n$被完全理解亿美元$)
附录：感谢@Dave，这论文（第8页，例3）清楚地解释了原因$n=7$是第一个整数，当$c_n\ne 0$此外，示例的最后一行表示这两个量非常不同（可能表明$c_n\ne 0$对于$n\ge 7美元$). 然而，作者并没有深入研究序列分析c_n美元$.
