非线性动力学与混沌——映射到Logistic映射的收敛性

Question

余弦映射定义为：xn+1=r/4（（a+1）cos[k（xn-1/2）]-a），其中k=2arccos（a/a+1），a>0。

1. 证明在极限a→∞中，余弦映射是逻辑映射。

我真的很难从哪里开始——有人暗示我可能会用到《乐施会法则》和泰勒级数展开。

谢谢您！

Answer 1

我首先从泰勒系列开始：

电弧炉（1-x）。这将从泰勒级数中删除常数pi/2，使其更容易求解。

将此极限计算为->无穷大，您应该会看到k=sqrt（2/a+1）

第二：cos（y）。当a接近无穷大时，k接近0（见上文）。这留下：

cos[k（xn-1/2）]=1-（4/（a+1））*（xn-1/2）^2。

将其转化为初始方程：

（r/4）*（（a+1）（1-（4/（a+1））（xn-1/2）^2-a）

将其展开，收集类似的术语等，即可获得：

xn+1=（r/4）*（-4xn^2+4xn）=rxn（1-xn），这是逻辑图。（需要更多工作）