黎曼-泽塔函数零点与素数的关系——一种简单的图解法

Question

经营场所

下面是一个简单的方法，让那些不懂复杂分析，但对高中数学中或多或少容易描述的数学问题着迷的人更多地了解素数和连续函数/求和之间的联系。

论证

考虑以下内容

$$F1=\sum_{b=Riemann\>zeta\>zeros}^{零的数目}左（\sum_}n=1}^{nmax}{frac{cos（b\cdot-ln（n））}{n^{a}}右）$$

哪里十亿美元$是黎曼-泽塔函数第n零点的虚部(十亿美元$={$14.134...$,$21.022...$等）。真正的部分应该总是$0.5$，但尚未证明。

下图是F1美元$其中，我设置以下参数的值(n美元$在x轴上，F1美元$在y轴上）：

• 零的$个$
• 最大值$$
• 美元$，即设置为$0$.

我用这个创造了这个情节细胞SageMathCell服务（我编写了一个简单的非优化python脚本来执行计算，脚本参数可以动态更改）。

关于用这种非常肮脏的方法来寻找图形素数的几个问题

• 1. 今天计算黎曼-泽塔函数零点虚部的最有效、快速和准确的公式或程序是否能够在不知道前面的零点的情况下计算另一个零点？或者为了计算每个零，有必要计算前面的零吗？
• 2. 是否有其他函数或求和，例如F1美元$这显示了类似的行为，也就是说，这显示了一种自然数的“质谱仪”，其峰值位于质数，也许位于其他特定数字，例如完美平方或幂$2$?
• 3. 事实上F1美元$以图中所示的方式和我发布的python脚本显示素数（根据零的数量，精度和准确度明显不同零的$个$选择并可能取决于最大值$$，但我需要对我好奇的东西做一些测试，因为我不确定）是因为素数以某种方式隐藏在$cos（b*ln（n））$功能，当十亿美元$表示Zeta函数的零？换句话说，是素数允许F1美元$函数以这种方式运行还是F1美元$隐藏素数的函数？第一种说法对我来说更有意义，也就是说，素数的存在及其分布导致F1美元$行为如图所示。我倾向于说，只有当人们采用比自然数更低的数学水平时，证明素数是如何分布的才是一项可能的任务，但我认为这并不存在。黎曼发现了复数分析和素数之间的联系，但我很难相信人们可以使用复数（或实数）分析找到一种直接的方法，用很少的计算来确定第n个素数（假设我希望如此）。你怎么认为？

编辑1（在Steven回答第二个Chebyshev函数后）

@史蒂文·克拉克：你说得对，我的第一个F1美元$这个定义太不精确了，应该是（我认为）：

$$F1（n1）=\sum_{b=Riemann\>zeta\>zeros[1]}^{Riemann \>zeta \>zeros[m]}左（\sum_{n=1}^{n1}{frac{cos（b\cdot-ln（n））}{n^{a}}右）$$

沿着x轴有n1美元$值来自$1$到最大值$$python脚本的参数。$Riemann零[m]$是zeta零的所有非平凡正虚部的向量，从第一个零开始($14.134..$)到为图选择的最后一个（m-th）。从数学的角度来看，它不是很优雅，但对我来说，这已经足够了，至少如果我想绘制一些实际上趋于无穷大但需要用自然数的有限部分表示的东西的话。感谢您注意到F1美元$.

正如我在你回答后的评论中所说，我将研究你写的东西（我对切比雪夫一无所知）。这个话题让我很感兴趣，不幸的是，我一开始就很蹩脚，因为我不是数学家。即使对我这样的业余爱好者来说，素数也太令人兴奋了。

回到F1美元$，我将绘制一些单波（即。$F0（n1）=\sum_{n=1}^{n1}{\frac{cos（b\cdot-ln（n））}{n^{a}}}$只有一个值十亿美元$)为了看看是否有F0美元$在x轴上显示质数的负值（绝对值高），这让我猜测，通过求和，我得到了F1美元$当我求数的时候F0美元$用不同的个体值计算的波浪十亿美元$(美元$始终设置为$0$;美元$与Riemann Hyp最相关，这个问题超出了我的理解）。换句话说，如果直觉没有欺骗我（不管怎么说，这是一个非常简单的直觉），我希望只有在值为十亿美元$等于黎曼-泽塔函数零点的虚部，则F0美元$沿x轴的质数是平均值的最低值。

像往常一样，我会尝试用图形的方式来看待它，因为这是我唯一能做的事情。

编辑2（只是为了解决问题）

F1美元$在开头和中发布编辑1是之前用脚本进行的一个图形实验，我想描述更简单的形式，但我脑海中有一个更复杂的形式，原始脚本显示了您后来向我建议的功能。

所以F1美元$如下图所示(SageMathCell代码):

但关于F1美元$我还得考虑一下，所以我现在不担心。

我想显示的函数（第一个原始脚本可以）是

$$F（n）=\sum_{b=Riemann\>zeta\>零[1]}^{Riemann \>zeta \>零[m]}{frac{cos（b\cdot-ln（n））}{n^{a}}$$

清楚地了解F（n）美元$毕竟，我仍然对黎曼-泽塔函数的质数和零点之间有趣的联系着迷$cos（b*ln（n））$这很短，但同时也很有趣，当人们用齐塔零虚部的不同值数次求和时，至少对我来说是这样。

我做了一个测试，看看沿素数的平均趋势F（n）美元$是最小趋势。图表如下(SageMathCell代码):

其中红色为F（n）美元$蓝色是$F（n=素数）$。可以选择使用十亿美元$等于黎曼ζ零点的虚部，或使用随机值十亿美元$。当使用Riemann zeta函数的零点时，只是直观地（用图表而非数学方法）显示这种顺序，并显示平均趋势的示例F（n）美元$什么时候$n=素数$这似乎是与其他自然数序列相比的最小平均趋势，无论随机与否（这与我最后的好奇心有关编辑1). 我对演示不感兴趣（我甚至不知道从哪里开始），我只想在图表的有限部分中看到我通常研究的各种事物的有趣趋势。

我的下一个目标是导出一个数据集，用它我可以不知何故地计算出在波和中使用的zeta函数的n个质数和0个数之间是否存在联系F（n）美元$因此，第n个素数有一个具有恒定绝对振幅的峰值。

编辑3（@StevenClark：我是如何简单地获得三角公式的$cos（b*ln（n））$)

我不想让任何人感到厌烦，我绝对相信三角公式已经广为人知了。令我惊讶的是，在使用这个“简单”函数时，我尝试使用十亿美元$等于zeta函数零点虚部的值，质数处的峰值跳出。史蒂文告诉我它从哪里来。

我只是写了

$$\zeta{（s）={\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}}}$$

具有：$${s={a+\mathit{ib}}}$$

使用欧拉公式

$$e^{ix}=cos（x）+isin（x）$$

并获得

$$\zeta{（a+ib）={\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{a+ib}}}=\sum\limits_{n=1}^{\finty}\left$$

我选择了真实的部分$成本$开始学习总结。我相信这与sin美元$由于这两个函数之间的巨大相似性。

经过一些数值实验后，我似乎很清楚（总是得到直觉的支持，从来没有经过严格的论证）三角函数中有一些有趣的东西$cos（b*ln（n））$与素数有关，这要归功于黎曼令人难以置信的工作。我重申，这些问题应该通过复杂的分析来解决，但像一个孩子一样，我想用我掌握的几个工具来理解更多的东西。

我明确指出，我的意图是确定那些尽可能简单地写并且与质数有关的公式。表示系数或函数的公式，即使是变量或复杂函数，但在周期（三角）函数之外，给了我一个想法，那就是更难，而没有给我快速证据证明其中隐藏着质数。

我问：

1. 如果我的方法是错误的，为什么？
2. 为什么从切比雪夫第二函数的显式公式开始更合适，如$(1)$史蒂文的回答？
3. 关于我的第二个图形编辑2，通过使用$(2)$或$(4)$@Steven非常详尽的答案或更简单的函数的公式F（n）美元$，哪个自然数序列可能具有最大的“比重”，即沿着所有自然数运行的上述函数最大峰值的包络线？根据你@Steven向我解释的，在有素数的地方看到最小峰值是正常的（实际上，我还不完全清楚），但最大峰值可能对应于一些自然数序列？直觉上，我会说自然数2^｛n｝美元$，因为它们距离质数序列“最远”。仅仅是好奇。

既然我对这个话题还有其他问题，我通常应该怎么做？我可以继续在这里发帖吗（进行渐进式编辑），只为我的问题提供一个参考？脑海中浮现的问题总是关于函数/和与素数（可能是其他数字序列）之间的联系。我的方法非常基本，并不复杂，但更多地受到一般概念和推测性调查的启发。

对于那些感兴趣的人，我发现一个与我对mathoverflow的兴趣无关的讨论，链接其中，Oscar Lanzi给出了一个答案，显示了一种使用zeta函数寻找素数的奇怪方法。在我看来，到目前为止，在分析的层面上，素数只与zeta函数相关，反之亦然。这是真的吗？例如，当然有Eratostene筛，但它是一种纯递归/迭代算法。

Answer 1

这个答案回答了你的三个问题，但顺序相反。

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问题（3）：

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这个第二切比雪夫函数的显式公式是

$$\psi_o（x）=\lim\limits_{\epsilon\ to 0}\左rho{-K}}\右）\right）-\log（2\，\pi）+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{-2\，n}}{2\^K \左（\frac{x^{\rho_K}}{\rho _K}+\frac}x^{\ rho_{-K}}}{\rho_-K}{右）\right）-\log（2\，\pi）-\ frac{1}{2}\，\log\左（1-\frac[1}{x^2}\右），\qquad x>1\tag{1}$$

哪里$\rhok（_k）$是一个非平凡的齐塔零度，$\rho_｛-k｝=1-\rho_k$、和$\Im\left（\rho_k\right）（$\Im\left（\rho_k\right））$增加为千美元$增加。

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上述公式（1）的一阶导数为

$$\psi_o'（x）=\压裂{\delta\，\psi_（x）}{\delta x}=1-\lim\limits_{K\to\infty}\left（\sum\limits{K=1}^K\ left（x^{\rho_K-1}+x^{\rho_{-k}-1}\右）\right）+\frac{1}{x-x^3}\tag{2}$$

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假设黎曼假设

$$x^{\rho_k-1}+x^{\ rho_{-k}-1}=x^{1/2+i\，\Im\左（\rho_k\右）-1}+x^{1/2-\Im\右（\rho _k\左）-1}=x^}-1/2}\，\left（x^{i\，\ Im\左k\右）}+e^{-i\，\log（x）\，\Im\左（\rho_k\右$$

因此，上述公式（1）的一阶导数可以计算为

$$\psi_o'（x）=\frac｛\delta\，\psi_o（x）｝｛\deltax｝=1-\frac｛2｝｛\sqrt｛x｝｝\，\sunderset｛K\to\infty｝｛\text｛lim｝｝\left（\sum\limits_{K=1｝^K\cos\left（\Im\left（\rho_K\right）\，\log（x）\right）\right）+\frac｛1｝｛x-x^3｝\tag｛4｝$$

其中，和仅在上半平面的非平凡齐塔零上。

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第二个切比雪夫函数

$$\psi（x）=\sum\limits_{n=1}^x\Lambda（n）=\sum \limits _{p^k\lex}\log（p）\tag{5}$$

迈出了一步$\log（p）$什么时候$=p^k$是一个超级大国。

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上述公式（4）适用于$\psi_o'（x）$是的分析表示

$$\psi'（x）=\sum\limits_{n=1}^\infty\Lambda（n）\，\delta（x-n）=\sum \limits _{p^j}\log（p）\，\ delta（x-n）\tag{6}$$

这解释了$\psi_o'（x）$在上述公式（4）中定义，当$n=p^j$是一个超级大国。

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您的配方F1美元$对我来说没有多大意义，因为没有x美元$它与情节的水平轴有关。您表示“n美元$在x轴上”，但这没有意义，因为你已经超载了n美元$作为总和索引和水平轴变量。您的更新公式F1（n1）美元$你在哪里脱颖而出n1美元$从n美元$似乎也不正确。据我所知，您的Sage代码的计算结果似乎相当于

$$F1（x）=\sum\limits_{k=1}^k\cos\left（\Im\left（\ rho_k\ right）\，\log（x）\right）\tag{7}$$

哪里$\rhok（_k）$是$k^{th}$非平凡的齐塔零在左手平面上（参见下面的图（1）），但我建议您关注公式（4）$\psi_o'（x）$上面假设黎曼假设是正确的关系。

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尝试对Sage代码进行第一次评估$1000$非平凡ζ在上半平面中为零，并将结果与下面的图（1）进行比较，图（1）说明了公式（7）的相应离散图F1（x）美元$以上评估时间K=1000美元$.

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图（1）：公式（7）的图解F1（x）美元$评估时间：K=1000美元$

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请注意

$$-\frac{\zeta'}{\zeta}=s\，\mathcal{M} _x（x）[\psi（x）]（-s）=s\int\limits_0^\infty\psi（x）\，x^{-s-1}\，dx\，，\quad\Re（s）>1\tag{8}$$

和

$$\psi（x）=\mathcal{M} _秒^{-1}\left[-\frac{\zeta'}{s\，\zeta（s）}\right]\left（\frac}1}{x}\right）=\frac{1}{2\pii}\int\limits_{alpha-i\infty}^{alpha+i\infty}\left alpha>1\tag{9}$$

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上述公式（1）是由$\左（-\frac{\zeta'）}{\zeta（s）}\右）\，\frac}x^s}{s}$（这是上面公式（9）中的被积函数）在其极点处，对应于zeta零点和$s\in\{0,1\}$.

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问题（2）：

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下面是几个其他的示例公式。

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尝试评估

$$\lim\limits_{N，f\to\infty}\左$$

哪里$\亩$是莫比乌斯函数和评估频率$f美元$假设是一个正整数，您将看到它精确收敛到$\log（p）$在主要权力下$x=p^j$其他整数值为零x美元$什么时候0美元<x\le N$。此公式与的另一个解析表示有关美元\psi（x）$及其相应的一阶导数美元\psi'（x）$.

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或者尝试评估

$$\lim\limits_{N，f\to\infty}\左$$

哪里$\亩$是莫比乌斯函数,$\u（n）$是不同素数的除法n美元$（请参见OEIS条目A001221)，以及评估频率$f美元$再次假设为正整数，您将看到它精确收敛到$1$以最大功率$x=p^j$其他整数值为零x美元$什么时候0美元<x\le N$.第二个公式与素数幂计数函数的解析表示有关$K（x）=\sum\limits_{p^j\lex}1$及其相应的一阶导数千美元（x）$.

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还有其他L函数的显式公式涉及齐塔零上的和，这些和可以类似于公式（1）进行微分$\psi_o（x）$以上。例如，见公式（7）黎曼素数计数函数.

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问题（1）：

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我认为没有必要知道所有齐塔零的值$\rhok（_k）$为此$\left|\Im（\rho_k）\right|<t$计算下一个zeta零点$\左|\Im（\rho_k）\右|>t$例如，非平凡的零计数函数可以近似为

$$N（t）=\sum\limits_{0<\Im（\rho）<t}1=\frac｛t｝｛2\pi｝\left（\log\left（\frac｛t｝｛2\pi｝\right）-1\right）+\frac｛7｝｛8｝+s（t）+O\left（\frac｛1｝｛t｝\right），\fquad t\geq 2\tag｛12｝$$

哪里$s（t）=\frac｛1｝｛\pi｝\arg\left（\zeta\left（\frac｛1｝｛2｝+i t\right）\right）$.

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Answer 2

我采用了类似的三角法，并使用$\tan（x）$功能。我用积分代替求和。结果很好，但到目前为止还没有被广泛接受。您可以在我的Vixra和ResearchGate中看到同名预印本：

• “黎曼假设证明”
• “分析从（H（z））到黎曼-泽塔函数的联系”

下面是我使用的MATLAB代码片段：

%定义n的值范围n=1:200；%初始化数组以存储结果结果=零（大小（n））；%计算每个n值的表达式值对于k=1：长度（n）素数（k）=和（i素数（1:n（k））；%使用isprime函数计算素数计数函数结果（k）=log（秒（pi*primeCount（结束）））；%计算表达式ln（sec（pi*nlog（n）））结束%显示结果绘图（imag（结果））

该图显示了应用于素数计数函数的对数正割函数结果的虚部。我正在寻求有关此方法的反馈或任何见解。

我注意到的是，每当斜率为正时，其峰值为常数美元\pi$在素数处。相反，每当斜率为负时，它的值就会变为零，同样在素数处，也会生成素数序列。这一切促使我进一步研究这两个预印本。