我会简单地使用一个缓和参数，例如Gilbarg Trudinger 7.2，用于有界域上的标准例程的sh参数。对于$（0，\infty）$这个论点也有同样的风格好的，下面的结果在有界集上有点微不足道，所以本质上，下面的论点与作者的论点是一样的。
我认为$p\geq 1美元$，因此某些Sobolev嵌入结果适用。
首先，让$f_{\epsilon}:=\phi_{\ε}*f$，然后$\|f_\epsilon-f\|_p\到0$。唯一需要展示的是$\|g-g_{\epsilon}\|_p\到0$，其中$g（x）：=xf'（x）$、和$g{\epsilon}（x）：=xf'{\epsilon}$.的弱收敛性$g_{\epsilon}\rightharpoonup g$可以通过分部积分简单地证明：对于任何$v\在C^{\infty}_C（\mathbb{R}^+）中$
$$\int_{\mathbb{R}^+}（xf'（x）-xf'{\epsilon}（x））v\，dx=\int_{\mathbb{R}^+}（f'（x）-f'{\epsilon}（x））xv\，dx\\=-\int_{\mathbb{R}^+}（f（x）-f_{\epsilon}（x））（v+xv'）\，dx，$$
然后应用Holder，$f_{\epsilon}\到f$在里面$\|\cdot\|_p$和的某些属性$C^{\infty}_C$功能。
接下来，简单地应用相应的Sobolev嵌入结果（例如Rellich–Kondrachov或某些版本的Poincare-Freedrichs不等式），以表明这种弱收敛意味着$\|\cdot\|_p$。您可能需要填写有关指数的一些详细信息。
编辑：我最初的回答没有回答上的问题$（0，+\infty）$，论点的最后一部分应该如下。
查找任何D中的$f\$，对于任何给定$\epsilon\in\mathbb{R}^+$，存在一个$g\单位：D$但是具有紧凑的支撑，使得$\|f-g\|_D<\epsilon$.
这个论点很简单$\|f\|_D$是有限的，让$I_k:=[\压裂{1}{k}，k]$紧凑，并且$\|f\|_{D，I_k}=\|\chi_{I_k{f\|_D\nearrow\|f\ |_{D}$，因此$\|f-\chi_{I_k}f\|_D=\|f\|_{D，\mathbb{R}^+\backslash I_k{到0$.
现在你的论点如下$f_\epsilon:=\phi_\epsilon*（\chi_{I_k}f）$具有$k:=\lfloor 1/\epsilon\rfloor$:
$$\|f-f_\epsilon\|_D\leq\|f-\chi_{I_k}f\|_D+\|chi_{l_k}f-\phi_\epsilon*（\chi__k}f）\|_D。$$
