我们可以很快推断出一些限制N美元$如果甲板N美元$卡片可以容纳一组神奇的三元组，然后是三元组的数量，$\frac13{N\choose 2}=\frac16 N（N-1）$（参见这个答案是一个整数，所以$N\equiv 0，1\pmod 3美元$此外，每张卡都是$\frac3N\cdot\frac13{N\choose2}=\frac{1}{2}（N-1）$三元组，所以N美元$一定很奇怪。结合这些观察结果可以得出$N\equiv 1，3\pmod 6美元$.
用…的语言组合设计，我们可以认为N美元$带有魔术三元组集合的卡片施泰纳三重系统订单的N美元$.斯科勒姆在1958年表示（见本答案末尾的引文），事实上$N\equiv 1，3\pmod 6美元$也是存在的一个充分条件，而且给出了一个非常明确的结构，太长了，无法在此复制：
$$\boxed{\textrm{一副$N>0$卡可以容纳一组魔法三元组iff$N\equiv 1，3\pmod 6$.}}$$
有几个有趣的例子。
示例(N=3^m美元$：上的仿射空格美元\Bbb F_3$)用矢量空间中的点识别卡片亿美元F_3^m$属于百万美元$-的元素元组$\Bbb F_3=\{0，1，2\}$，并声明$3$如果不同的点（卡片）是线上的三个点，也就是说，如果它们的总和是$\bf 0$因此，给定不同的点${\bfa}，{\bfb}\in\Bbb F_3^m$，线上的第三个点是$-{\bfa}-{\b b}$。如果您喜欢用连续整数对卡片进行编号$0，1，\ldot，3^m-2，3^m-1$，只需解释要点$（a_1，\ldot，a_m）$作为整数$（上一行{a_1\cdots a_m}）_3$写入基础$3$.
这样的甲板美元\frac12 3^{m-1}（3^m-1）$魔术三连击，每张牌都是12美元（3^m-1）$三倍。
案例$m=2$给出了一副$9$卡片和$12$三倍。为了方便起见，写下这对$（a_1，a_2）$作为$a_1 a_2$并将后者解释为基础-$3$表示$（\上一行{a_1a_2}）_3$整数的。这是一组神奇的三连音$\{0，\ldot，8\}$:\开始{align}（0，1，2），\四（0，3，6）\\（1，3，8），四（1，4，7），四\\（2、4、6）、四元（2、5、8）、四方（3、4、5）、四（6、7、8）。\结束{对齐}
这个案子N=81美元$(百万美元=4$)已经发展成为纸牌游戏，设置其中，“魔法三元组”称为“集合”。
示例($N=2^{r+1}-1$：上方的投影空格美元\Bbb F_2$)每对不同的卡片决定一个魔法三元组的条件让人想起射影几何的公理，即每对点决定一条线。因此，我们可以识别一组卡片，其中包含一个域上射影空间的点，以及带有线的魔法三元组，前提是每条线都精确地$3$点。如果基础字段是字段，则情况正好如此$\Bbb F_2=\｛0，1 \｝$属于$2$元素。射影空间$\operatorname{PG}（r，2）$尺寸的美元$结束美元\Bbb F_2$有$2^{r+1}-1$卡片（点），我们可以用$[a_1:\cdots:a{r+1}]$,$a_1，\ldot，a_{r+1}\在\Bbb F_2中$（并非全部$a_i$等于$0$)，因此$\frac13（2^{r+1}-1）（2^r-1）$魔术三连音（线）。
这个案子$r=2$提供了法诺平面，最小的射影平面我们可以将其视为$7$卡片和$7$魔术三连击，每张牌都是其中的一部分$3$三倍。为方便起见，表示$[a_1:a_2:a_3]$通过$a_1 a_2 a_3$，并将后面的表达式解释为整数$（\上一行{a_1a_2a_3}）_2$写入基础$2$然后，为甲板收集魔术三连体$\{1，\ldot，7\}$是：$$（1,2,3），\四元（1、4、5）、\四（1、6、7）、\四（2，4，6），\四元（2，5，7），\四（3、4、7）、\四(3, 5, 6) .$$
这个案子$r=3$给予$\operatorname{PG}（3，2）$，我们可以将其视为$15$卡片和$35$魔术三连击，每张牌都是其中的一部分$7$三倍。本案与柯克曼的女学生问题.
对于$N=13$，将斯科勒姆的解释应用于$N\equiv 1\pmod 6美元$具有$（a_1，b_1，a_2，b_2）=（1，2，3，5）$提供甲板$\{0，\ldot，12\}$有三个$$（x，x+1，x+4）\qquad\textrm{和}\qquad（x，x2，x+7），\qquad-x=0，\ldots，12$$其中值被视为模$13$.
对于$N=1、3、7、9$，有一组魔法三元组N美元$卡片，直到同构（本质上是卡片的重新标记），并且每个卡片都是上述两个示例中一个（或两个）的特例。对于13美元$,$N\equiv 1，3\pmod 6美元$，在一副N美元$卡达到同构。一组大小的魔术三元组集合的同构类型数N美元$是序列的内容OEIS A030129公司.
斯科勒姆·T（1958）。"关于Steiner三系的几点注记".斯堪的纳维亚数学 6, 273–280.https://doi.org/10.7146/math.scanda.a-10551
