受平价限制的项目集合

Question

我有一个问题：12朵花是从一家商店买来的，商店里有无限量的红色、粉色、黑色、白色和黄色的花（除了颜色之外无法区分）。如果满足以下条件，可以购买多少种不同的花卉：

a.总计？

b.每种颜色使用偶数次或根本不使用？

c.每种颜色使用奇数次或根本不使用？

就（a）部分而言，这只是${16\选择4}$使用“星条旗”的论点。对于（b）部分，我们正在寻找$$x_1+\cdots+x_5=12$$其中每个$x_i$是均匀的。因此，如果我们设置$y_i=\压裂{x_i}{2}$:$$y_1+\cdots+y_5=6$$方法的数量是${10\选择4}=210$.

我很不确定如何完成（c）部分。我尝试过寻找生成函数，但我得到了$（1+x+x^3+x^5+\cdots）^5$这不是一个几何级数。我尝试过做一些类似于（b）部分的事情，例如将数字加倍（设置$y_i=2x_i$)，但这没有帮助。有人知道我该怎么做吗？

Answer 1

总是有暴力手段。12个部分中每个部分都是奇数的分区是什么，哪些最多有5个部分？只有八个：$11+1$,$9+3$,$9+1+1+1$,$7+5$,$7+3+1+1$,$5+5+1+1$,$5+3+3+1$、和$3+3+3+3$。为每一个选择颜色。您可以通过以下多种方式做到这一点：$$5\cdot 4+5\ cdot 4+5{4\选择3}+5\选择4+5\选择2\选择2}+{5\选择2}{3\选择2{5{4\选择2}}{2\选择1}+{5 \选择4}，$$等于235。

Answer 2

我不能马上看到一个聪明的方法，但如果你有计算帮助，使用g.f.你可以找到$x^{12}\；在\；（1+x+x^3+x^5+x^7+x^9+x^{11}）^5$
以获得回答属于$235$对于零件（c）美元$

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一夜之间，潜意识起了作用！

非零$\;$ 古怪的 $\;$条目必须出现在$2$或$4$生成偶数的单元格，$12$

放$x_i=2y_i+1$,

任何一个$\sum_{i=1}^2\；2y_i=10\表示sum_{1=1}^2\；y_i=5$
或$\sum_{i=1}^4\；2y_i=8\表示sum_{i=1}^4\；y_i=4$

考虑到当填充的单元格为两个时，可以填充单元格$\binom52美元$方式，当四个$\binom54美元$方式

回答$=\binom61\binom52+\binom73\binom54=60+175=\颜色{蓝色}{235}$

Answer 3

（c） ：非负整数解数的生成函数$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=r$$其中每个$x_i$是其中之一$0$或奇数是$$\开始{align}f（x）&=（1+x+x^3+x^5+\点）^5\\&=（1+x（1+x^2+x^4+\点）^5\\&=\左（1+\压裂{x}{1-x^2}\右）^5\\&=\sum_{i=0}^5\binom{5}{i}\left（\frac{x}{1-x^2}\right）^i\\&=\sum_{i=0}^5\binom{5}{i}x^i（1-x^2）^{-i}\\&=\sum_{i=0}^5\binom{5}{i}x^i\sum_{j=0}^{infty}\binom}i+j-1}{j}x^{2j}\结束{对齐}$$其中，我们在最后一步中对负指数使用了二项式定理。因此r=12美元$是$$[x^{12}]f（x）=\sum_{j=0}^6\binom{5}{12-2j}\binom}{12-20j+j-1}{j}=\装箱{235}$$