0
$\开始组$

和的方差$\bar｛X｝$变量的$X_i$对于$i=1，。。。，n个$是方差的总和$\西格玛_1^2+…+\西格玛_n^2$

如果所有变量都有相同的方差，则总和为$n\sigma^2$.

要计算平均值，我将总和除以n美元$.那么，为什么样本的方差是平均值$\压裂{\西格玛^2}{n}$?

我找到的解释是：$$\operatorname{Var}（\bar X）=\frac{1}{n^2}\operator name{Var}\left（\sum_i X_i\right）$$我不知道在哪里$n^2美元$来自。

$\端组$
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  • $\开始组$ $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i} X _ i$. 然而，请注意$Var（\sum_{i} X _ i)=nVar（X_1）$，假设$X_1、\点、X_n$不相关。 $\端组$
    – 旗木卡卡西
    评论 4月29日21:13
  • $\开始组$ $\上一行{X}$是样本均值$\frac{1}{n}\sum_i X_i$而不是总和$\sum_iX_i$ $\端组$
    – 秃鹫
    评论 4月29日21:13
  • $\开始组$ 两条意见：1。如果变量不相关，则总和的方差等于方差之和。如果不是，你会得到额外的协方差项。2.一般来说，如果$X$是绝对平方积分，那么对于$c\In\mathbb R$，$\operatorname{Var}（cX）=c^2\operatorname{Varneneneep（X）$。例如，您可以从定义$\operatorname{Var}（X）=\mathbb E（（X-\mathbbE（X））^2）$中导出此值。 $\端组$
    – 马克西米利安·贾尼什
    评论 4月29日21:15
  • $\开始组$ 第三条注释：假设$X_i$是iid，$\barX$的方差实际上是$\frac{\sigma^2}n$，因为$\frac{n}{n^2}=\frac1n$。。它不是$\frac{\sigma^2}{n^2}$。 $\端组$
    – 马克西米利安·贾尼什
    评论 4月29日21:24

1答案1

重置为默认值
2
$\开始组$

方差有两个相关的性质。

属性1：对于独立随机变量X美元$和Y美元$有限方差，$$\operatorname{Var}[X+Y]\overset{\text{ind}}{=}\operator名称{Var{[X]+\operatoriname{Var}[Y]$$

属性2：对于任何标量常量$c美元$和随机变量X美元$有限方差，$$\operatorname{Var}[cX]=c^2\operatorname{Var{X]$$

第一个属性导致身份$$\操作符名{Var}[X_1+X_2+\cdots+X_n]=\操作符名称{Var{[X_1]+\operatorname{Varneneneep[X_2]+\cdot+\operatorname{Var}[X_n]$$什么时候$X_1，\ldot，X_n$独立；当它们同样分布时，那么$$\operatorname{Var}[X_1]=\operator名称{Var{[X_2]=\cdots=\operator名称{Var}[X_n]=\Operator名称}[X]$$所以$$\operatorname{Var}[X_1+\cdots+X_n]\overset{\text{iid}}{=}n\operatorname{Var}[X]$$

然后，选择第二个属性$c=1/n美元$,$$\操作员名称｛Var｝\left[\frac｛X_1+\cdots+X_n｝｛n｝\right]=\ frac｛1｝｛n^2｝\操作员名称｛Var｝[X_1+\cdots+X_n]=\ frac｛1｝｛n^2｝（n\操作员名称｛Var｝[X]）=\ frac｛1｝｛n｝\操作员名称｛Var｝[X]$$

根据期望方差和线性的定义，对每个属性进行了证明：

$$\运算符名称｛Var｝[X]=\运算符名称｛E｝[（X-\运算符名称｛E｝[X]）^2]=\运算符名称｛E｝[X^2]-\运算符名称｛E｝[X]^2$$和$$\操作符名{E}[X+Y]=\操作符名称{E}[X]+\操作符姓名{E}[Y]$$和$$\operatorname{E}[cX]=c\operator名称{E}[X]$$

因此$$\开始{align}\运算符名{Var}[X+Y]&=\运算符名{E}[（X+Y-\运算符名}[X+Y]）^2]\\&=\操作符名{E}[（X+Y）^2-2（X+Y）\操作符名称{E}[X+Y]+\操作符姓名{E}[X+Y]^2]\\&=\操作符名{E}[（X+Y）^2]-2\操作符名称{E}[（X+Y）\操作符姓名{E}[X+Y]]+\操作符名字{E}[CX+Y]^2\\&=\operatorname{E}[X^2+2XY+Y^2]-2\operator名称{E}[X+Y]^2+\ operatorname{E}[X+Y]^2\\&=\operatorname{E}[X^2]+2\operator名称{E}[XY]+\operatoriname{E{[Y^2]-\operatormame{E}[X+Y]^2\\&=\operatorname{E}[X^2]+2\operator name{E}[XY]+\operatoriname{E{[Y^2]-\operatormame{E}[X]^2-2\operatorname{E{X}[Y]-\operatorname{Eneneneep[Y]^2\\&=\operatorname{E}[X^2]-\operator name{E}[X]^2+\operatoriname{E{[Y^2]-\ operator名称{E}[Y]^2+2\ operatorname{E{[XY]-2\ operatormame{E}[CX]\operatoralname{E{Y}[Y]\\&=\operatorname{Var}[X]+\operator name{Var}[Y]+2（\operatoriname{E}[XY]-\operatoraname{E{X]\operatormame{E}[Y]）。\结束{对齐}$$但如果X美元$和Y美元$是独立的，那么$\operatorname{E}[XY]\overset{\text{ind}}{=}\operator名称{E}[X]\operatormame{E}[Y]$，这使得括号中的项消失，这就完成了证明。

对于属性2，证明更简单：

$$\开始{align}\运算符名称{Var}[cX]&=\operatorname{E}[（cX-\operator名称{E}[cX]）^2]\\&=\operatorname{E}[（cX-c\operator名称{E}[X]）^2]\\&=\operatorname{E}[c^2（X-\operator名称{E}[X]）^2]\\&=c^2\operatorname{E}[（X-\operatorname{E}[X]）^2]\\&=c^2\operatorname{Var}[X]。\结束{对齐}$$

$\端组$

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