查找给定持续时间列表和上限时可以创建的唯一持续时间数

Question

假设我们得到了一个持续时间列表（5s、10s、10s,15s、15s、15s,25s、30s……），我们想找到一个唯一持续时间可以使用此单持续时间列表创建。

例如，如果我们有原始列表（5、5、15、25），我们可以创建以下持续时间：

• 5->使用一个5元素
• 10->使用两个5元素
• 15->使用一个15元素
• 20->使用一个5元素和一个15元素
• 25->使用两个5元素和一个15元素或使用25元素
• 30->使用25和5
• 35->使用25和两个5s
• 40->使用25和15
• 45->使用25、15和5
• 50->使用所有元素

作为奖励，我想限制使用的元素数量，并设置一个上限。例如，我想使用最多2个元素，并且总持续时间为37的上限。

这应该消除40、45和50选项，因为它们超出了限制，并且应该消除35选项，因为它使用了2个以上的元素。

有人知道解决这个问题的方法吗？

Answer 1

您可以递归计算列表中每个前缀的答案：添加条目时x美元$在列表中，总和集变为S\}中的$S\mapsto S\cup\{x+a|a\$（然后从单例集开始$\{0\}$输入列表为空时）。保持美元$作为一个排序列表，可以在$O（百万\log（n））$时间，其中百万美元$是输入列表的长度n美元$是输出列表的长度（先验值为O美元（200万）$).

如果要将摘要数限制为百万美元$，然后保留一个成对列表（sum，summand的数量），这将复杂性更改为$O（mMn\log（Mn））$.

如果你想给总和设一个上限，那么就删减集合美元$每次更新后。这不会使时间复杂度恶化，尽管如果上限十亿美元$足够小，则可以用长度为布尔值的数组替换排序列表美元\sim B$（或MB美元$如果您希望这两个限制）将复杂性更改为O美元（百万亿）$（或O美元（百万MB）$).