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$\开始组$

美元$和十亿美元$正在进行由一些比赛组成的锦标赛；第一个赢的美元（n+1）$比赛获胜。如果美元$具有概率美元$赢得比赛的概率美元$赢得比赛。

美元$可以通过以下方式获胜；获胜美元（n+1）$连续比赛，获胜亿美元$比赛，输$1$比赛并赢得下一场比赛，以此类推直到美元$获胜亿美元$比赛，输亿美元$比赛并赢得美元（2n+1）$第次比赛。

因此，此概率变为$$P_A=\sum_{k=0}^{n}\binom{n+k}{n} 对^{n+1}（1-p）^{k}$$或者，$$P_A=（1-P_B）=1-\sum_{k=0}^{n}\binom{n+k}{n} 对^{k} （1-p）^{n+1}=1-（1-p，^{n+1}\sum{k=0}^{n}\binom{n+k}{n} 第页^{k}$$

然而，即使在略为简化的情况下$P_B$（代表赢得比赛的概率B），我不知道如何评估它。有什么聪明的概率推理可以用来得出这个总和的答案吗，或者有什么方法来评估这个总和，以获得概率的封闭表达式美元$赢得比赛？

$\端组$
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  • 三
    $\开始组$ 我认为答案是$\sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom{2n+1}k\，p^k（1-p）^{2n+1-k}$，也就是说，$A$在$2n+1$中赢得至少$n+1$游戏的概率。我不希望这对普通$p$有一个令人愉快的封闭公式。 $\端组$
    – 卢鲁
    评论 3月22日11:40
  • 1
    $\开始组$ 如果你在想“但是露露，在一些情况下只有$n+1$游戏或$n+2$游戏，而不是$2n+1$“没关系。即使在宣布总冠军后，也让球员进行表演赛，直到总共进行了2n+1$场比赛。这些表演赛将使我们能够在不影响任何实际概率或整体结果的情况下进行这些简化。 $\端组$
    – 杰莫拉维茨
    评论 3月22日12:08

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