子组动作下降链的轨道

Question

假设一个可数群G美元$传递作用于可数集X美元$.让$G=G_0\supset G_1\supset\cdots$是有限指数子群的下降链。假设x中的$x，y\$处于同一轨道$G_i$为所有人1美元$他们必须在同一轨道上$\cap_i G_i$?

如果我们假设x美元$是循环的吗？或者那样G美元$剩余有限吗？我特别感兴趣的情况是G美元$是$PSL（2，\mathbb{Z}）$作用于一组尖点$\mathbb{Q}\cup\infty$.

Answer 1

如果我计算正确，那么无限二面体群$\langle x，y\mid y^2=（xy）^2=1\langle$具有无限下降链的有限指数无限二面体子群具有平凡交集，例如$$\langle x，y\rangle>\langle x^4，y\rangle>\angle x^{16}，yx^5\rangle>\langle x^{256}，xx^{21}\rangle>\langlex^{1024}，yx^{277}\range>\cdots$$如果G美元$作用于$2$-元素集$\{a，b\}$具有x美元$固定和美元$交换美元$和十亿美元$，然后美元$和十亿美元$位于链中每个子组的相同轨道上，但显然不在它们的交点上。