2
$\开始组$

我正在计算这个级数。

$$S=\sum_{k=4}^\infty\dfrac{9}{（k-1）^2}-\dfrac{9}{（k+2）^2{$$

我用“捷径”，也就是巴塞尔协议的总和找到了答案。。。$$S=\sum_{k=4}^\infty\dfrac{9}{（k-1）^2}-\dfrac{9}}{$$

让k-1美元=百万$和$k+2=n美元$，然后

$$S=\sum_{m=3}^\infty\dfrac{9}{m^2}-\sum_{n=6}^\infty\defrac{9{n^2}=9\left[\left（\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{5}{4}\右）-\左（\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{5269}{3600}\right）\right]=\dfrac{769}{400}$$

这似乎是一个可伸缩的系列，所以我正在寻找一种代数方法。
Wolfram Alpha将部分总和计算为

$$S_n=\dfrac{769n^6+4614n^5-803n^4-33972n^3-61724n^2-43200n-14400}{400n^2（n+1）^2（n+2）^2}$$

有人能提供细节或概述要达到的步骤吗S_n美元$?

$\端组$
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  • 4
    $\开始组$ 这是一个巨大的总和。如果你有一个形式为$\suma{n+k}-a_n$的和，那么如果你让$b_n=a_n+a{n+1}+\ldots+a{n+k-1}$，那么$a{n+6}-a_n=b{n+1}-b_n$。所有这些之后，所有常见的伸缩和分析都像往常一样工作：部分和将为$sum{n=1}^Na{n+k}-a_n=b_1-b{n+1}$，无限和为$b_1$（假设$a_n到0$为$n\to.infty$）。 $\端组$
    – 西奥·本迪特
    评论 3月6日6:26
  • $\开始组$ 你到底是如何在这里“使用巴塞尔协议金额”的？ $\端组$
    – 用户170231
    评论 3月6日6:29
  • $\开始组$ 同样的方法你似乎用于查找$S$的可用于查找部分和$S_n$。唯一的区别是您必须从$S_n$的定义开始。 $\端组$
    – 布莱恩·莫林
    评论 3月6日6:31
  • $\开始组$ @user170231我猜，从这个意义上讲，巴塞尔和收敛于某个有限的东西，因此将无限和除以这两个表达式是有效的。 $\端组$
    – 西奥·本迪
    评论 3月6日6:33

1答案1

重置为默认值
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$\开始组$

$$\sum_{m=3}^n\dfrac9{m^2}-\sum_{m=3}^n\dmrac9{（m+3）^2}$$

$$=9 \左（\dfrac19+\dfrac1{16}+\dfras1{25}-\dfrac1{（n+1）^2}-\dfrac1}（n+2）^2{-\dfras1{$$

$\端组$

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