与众不同可分性技巧有一个非常简单的规则适用于多个除数：数字和。具体来说，如果数字的位数之和是$1,3$或$9$然后是原始数字（尽管$1$case很小，以后将其包括在内是有意义的）。
然后可以问：如果我们考虑除$10$?为了回答这个问题，我们记得数字和是以基数为单位的$10$对于$1,3$和$9$因为如果我们有一些n美元$-数字$x=\sum_{k=0}^{n}10^ka_k$带数字$a_k\in\mathbb{N}\cap[0，\dots，9]$然后我们可以写$$x=\sum_{k=0}^{n}10^kak=\sum_{k=0}^{n}左（10^k+1-1\right）a_k=\sam_{k=0.}^{n}\left（10^k-1\right）+\下大括号{sum_{k=0}^{n} （_k）}_{\color{purple}{\text{数字和}}}$$所以我们只需要知道什么时候10美元\equiv 1\pmod{x}$因为这些x美元$的将使$\sum_{k=0}^{n}\左（10^k-1\右）\equiv 0\pmod{x}$从而给了我们一个有效的数字和可分性规则。但要问10美元\equiv 1\pmod{x}$只是询问x美元$那就满足了$1x\vert 10-1美元$，它正好是$10-1 =9$.
对通用底座重复此步骤十亿美元$我们得到了一个基中工作可除性技巧的个数十亿美元$只是$\sigma_0（b-1）$，其中$\sigma_0（z）$是除数功能。这就引出了一个定义，即一个基数在具有多个数字和可分性技巧时的“效率”如何，如下所示：$$E（b）=\frac{\sigma_0（b-1）}{b-1}，\quad b\in\mathbb{N}\cap[2，\infty）$$这样，E（b）美元$表示工作数字和技巧占所有可能小于的数字的百分比十亿美元$当以基数书写时十亿美元$.
对于底座$b=10美元$我们有$E（10）=\frac{\color{purple}{3}}{\color{green}{9}}$自从我们得到$\颜色{紫色}{3}$使用数字和技巧（用于$1,3$和$9$)从中退出$\颜色{绿色}{9}$可能性$1,2，\点，9$.
另一方面，对于底座b美元=15$我们有$E（15）=\压裂{4}{14}$四位数，数字和规则为$1,2,7$和$14$例如$4389_{10}$在底座中$15$是$1479_{15}$从那以后$ 1+4+7+9 = 21$可除以$7$，那么也是$1479_{15}=4389_{10}$.
我的主要问题如下：
关于E（b）美元$?
例如，绘制图形时E（b）美元$您将获得以下信息：
我们可以看到$2$和$3$有一个$100$%数字和技巧的有效性，意味着数字和技巧适用于所有小于各自基数的数字。
另一件需要注意的事是，我们偶尔会在图表中出现峰值。其中一些可以归因于高度复合数哪些是数字n美元$让人满意的$\sigma_0（n）\ge\sigma_0（k）$为所有人千美元$.尖峰E美元（25）$是因为$24$是一个高度合成的数字E美元（13）$是因为$12$是一个高度复合的数字。因此，如果你选择一个基数大于一个高度复合数，你会得到几个有效的数字和可分性技巧。
出于类似的原因，我们还可以解释图中的大多数“凹陷”。自$\sigma_0（p）=2$对于任何素数美元$那么，对于基数比素数多一的情况，您将获得效率$E（p+1）=\压裂{2}{p}$对于越来越大的素数，它可以变得任意小。
其他一些示例问题可能是：
- 上/下限是什么E（b）美元$?
- 速度有多快E（b）美元$减少？
- 我们多久会在图表中出现峰值E（b）美元$?
欢迎提出任何想法。谢谢你的阅读！
