带4p珠子的项链（伯恩赛德外稃）

Question

让$p\geq第3季度$是质数。

我们认为2便士$黑色珠子和2便士$蓝色珠子（都无法区分）。

有多少尺寸独特的项链4便士$用这些珠子做成的，有吗？（只考虑旋转。）

我需要伯恩赛德引理的帮助。

（我还没有找到一个答案令人满意的类似问题）。

第一种方法（通过公式）：

我们将使用众所周知的公式。

彩色多集是$B=\{1^{2p}，2^{2p2}\}$.

此类项链的数量为：$$ \开始{align}N（B）&=\frac{1}{|B|}\sum_{d\mid\gcd（N_1\dotsn_k）}\binom{|B|/d}{N_1/d\dotsn _k/d}\phi（d）\\&=\frac{1}{4p}\sum_{d\mid\gcd（2p，2p）}\binom{4p/d}{2p/d\；2p/d}\phi（d）\\&=\frac{1}{4p}\biggl（\binom{2}{1\；1}\phi\\&=\压裂{1}{4p}\biggl（2（p-1）+\压裂{（2p）！}{（p！）^2}+6（p1）\biggr）\\&=\压裂{8（p-1）（p！）^2+（2p）！}{4p（p！！）^2}\结束{对齐}$$

第二种方法（通过伯恩赛德引理）：

组大小为4便士$.

Id已修复$\binom{4p}{2p}$元素。

第一次旋转固定$0$元素。

第二个修复$2$元素。

什么是模式美元$?我们必须知道在给定的旋转中可以为多少珠子着色，然后我们可以检查这是否可行。

Answer 1

暂时忽略了必须有相等数量的黑色和蓝色珠子的要求。。。

旋转一次或旋转任意次数时千美元$哪里$\gcd（k，4p）=1$你会发现每个珠子都必须是一样的。也就是说，我们有一个自由度。

旋转两次时，或旋转任意次数时千美元$哪里$\gcd（k，4p）=2$你会发现每个珠子都必须是一样的。也就是说，我们有两个自由度。

旋转四次或任意次数时千美元$哪里$\gcd（k，4p）=4$你将有每四个珠子必须是相同的。也就是说，四个自由度。

旋转时千美元$时间，其中$\gcd（k，4p）=p$你将拥有美元$珠子必须相同。最后，当旋转时2便士$次，每2便士$'th珠子(即对面的珠子)必须是一样的，我们会有2便士$自由度。

注意，每一个都会将珠子集划分为1,2,4美元$或2便士$大小相等的集合，回忆一下蓝色和黑色珠子的数量必须相等，我们发现$1$和美元$不可能满足这一点(回想一下美元$素数大于2，因此是奇数).

在以下情况下$2$自由度，选择最先出现的颜色会强制选择接下来的颜色，因此$2$选项。在以下情况下$4$自由度，您为蓝色选择两个空格，其余的必须为$\binom{4}{2}=6$选项。

在这些数字中$1,2,3，\点，4p-1$有p-1美元$这些对应于的gcd$2$和p-1美元$这些对应于的gcd$4$(回顾一下4便士$和$0$对应身份轮换，暂时不在我们的统计范围内).

在身份轮换的情况下，我们只需选择2便士$其中个空格为蓝色，其余为黑色，总计$\binom{4p}{2p}=\dfrac{（4p）！}{（2p）！（2p！}$，类似于180美元左右$旋转，我们选择哪个美元$前半部分的珠子是蓝色的，而不是黑色的$\binom｛2p｝｛p｝$案例

我数一数，然后申请(不是-)伯恩赛德引理，我们到达

$$\dfrac{1}{4p}\左（\binom{4p{2p}+\binom}{2p{p}+（p-1）\乘以2+（p-1，\乘以6\右）$$

这与你所写的非常接近，但似乎你错过了你之前尝试的身份轮换案例。