使用Frullani积分$\，\ln（1+n）=\int_0^\infty\frac{e^{-t}-e^{-（n+1）t}}tdt$改变求和和积分的顺序$$S（x）=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n！}\ln（n+1）=\int_0^\inffy\frac{e^{-t}}t\left（\sum_{n=0}^\ infty\ frac{x^n}{n！{left（1-e^{-nt}\ right）\right）dt$$我不确定封闭的表单是否存在。我们可以确定的是在$x\gg1美元$
$$S（x）=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}t \big（e^x-e^{xe^{-t{}\big）dt\overset{e^}=S}{=}-e^x\int_0 ^1\frac{1-e^{x（S-1）}{lns}ds=-e^x\t_0 1\frac{1-e_{-xt}}}{ln（1-t）}dt$$
$$=e^x\int_0^1\big（1-e^{-xt}\big）\left（\frac1t-\frac1\ln（1-t）}-\frac11t\right）dt=I_1+I_2$$哪里$$I_1=e^x\int_0^1\frac{1-e^{-xt}}tdt=e^x\ int_0^x\ frac{1-e^{-t}tdt$$按部件集成$$=e^x\大（1-e^{-t}）\大$$
$$=e^x\大（1-e^{-x}\大）\ln x-e^x\int_0^\infty e^{-t}\ln tdt+e^x/int_x^\ infty e ^{-t{ln tdt$$
$$I_1=e^x\大（\ln x+\gamma+O（e^{-x}\ln x）\大）\标签{1}$$第二个积分，反过来$$I_2=-e^x\int_0^1\frac{t+\ln（1-t）}{t\ln（1-t）}\Big（1-e^{-xt}\Bing）dt$$
$$=-e^x\int_0^1\frac{t+ln（1-t）}{t\ln^{-xt}日期=I_{2a}+I_{2 b}$$哪里$$I_{2a}=-e^x\int_0^1\left（\frac1t+\frac1\ln（1-t）}\right）dt=-e^x\int_0 ^1\leaft（\fracc1\1-t}+\fracl{lnt}\rift）dt$$
$$\重叠{t=e^{-s}}{=}-e^x\int_0^\infty\left（\frac1{e^s-1}-\frac{e^{s-}s\right）ds=-e^x\ gamma\tag{2a}$$
$$I_｛2b｝=e^x\int_0^1\frac｛t+\ln（1-t）｝｛t\ln（1-t）｝e^{-xt}日期\重叠{tx=s}{=}\frac{e^x}x\int0^x\frac{s+x\ln\big^{-s}ds$$积分的主要贡献来自$s\ll x个$因此，去掉指数小项，我们可以简单地分解对数并逐项积分（$\infty（美元）$作为上限）：$$\sim\frac{e^x}x\int_0^\infty\frac{-\frac{s^2}{2x}-\压裂｛s^3｝｛3x^2｝-…｝{-\frac{s^2}x-\frac}{s^3}{2x^2}-…}e（电子）^{-s}ds=\frac{e^x}{2x}\int_0^\infty\left（1+\Big（\frac23-\frac12\Big）\fracsx+。。。\右）e^{-s}ds$$
$$I_{2b}=e^x\左（\frac1{2x}+\frac1\12x^2}+O\大（\frac 1{x^3}\大）\右）\标签{2b{$$综合（1）、（2a）和（2b）$$S（x）=e^x\左（\ln x+\frac1{2x}+\frac{12x^2}+O\大（\frac1\x^3}\大）\右）$$数字检查确认答案。
