关于Q的非阿贝尔扩张的根和Q的阿贝尔闭包

Question

这有点让我不安。我只是想让某个人来操作它，因为（在某些方面）这对我来说似乎有点不切实际。

让我们考虑一下美元$成为中的代数数$\mathbb{C}$歪投球$\mathbb{R}$.

很明显，接下来就是$\bar{r}$也是一个代数数。

因此$\压裂{r}{|r|}$是一个代数数。另请注意$\压裂{r}{|r|}$位于单位圆上$\mathbb{C}$.

让我们打电话$\frac{r}{|r|}=u=e^{i\cdot\theta}$

那么请注意$\mathbb{Q}（u）$是的有限延伸$\mathbb{Q}$

另外请注意，如果$\θ$不是的有理倍数美元\pi$然后是一组数字：

$\{u^k:0\lek\le\infty\}$必须是稠密的S_1美元$单位圆$\mathbb{C}$

后者明确表示如果$\θ$不是的理性倍数美元\pi$然后延期一定是这样$\mathbb{Q}（u）$是无限延伸。这与我们开始的给定内容直接矛盾。

所以结论是如果美元$是中的任何代数数$\mathbb{C}$然后是分数$\压裂{r}{|r|}$是团结的根源。

因此，我们有$u（美元）$是的元素$\mathbb{Q}^{ab}$或者阿贝尔闭包$\mathbb{Q}$.

如果我对伽罗瓦理论的记忆适用于所有根为$\mathbb{Q}^{ab}$可以作为嵌套根进行代数求解。

对不起，这看起来有点奇怪。。。也许这是真的。

Answer 1

后者明确表示如果$\θ$不是的理性倍数美元\pi$那么一定是因为延伸$\mathbb{Q}（u）$是无限延伸。这与我们开始的给定内容直接矛盾。

此步骤不正确。你没有“清楚地”证明这一点，这是不正确的（我不知道你在考虑什么论点，但$\mathbb{Q}[u]$可以密集在$\mathbb{C}$只要它的尺寸至少是$2$). 您已经可以在中找到反例$\mathbb{Q}[i]$，看起来像$\压裂{a+bi}{a-bi}$对于$a，b\in\mathbb{Z}$，例如已经$\压裂{1+2i}{1-2i}$不是团结的根源。当然，这是阿贝尔扩展，但非阿贝尔扩展中的反例更难处理。关键是这一步行不通。