让我首先回答你的第二点:Eilenberg-Zilber定理(使用非循环模型的方法)指出,自然变换$\phi:S_*(-)\otimes S_*(–)\到S_*(-\次-)$是唯一确定的(在同伦范畴中)由它在度0中的作用决定的。正如你所怀疑的那样,证明使用了同调代数的基本引理,但要达到这一点,你还需要非循环模型。
当使用系数时,这仍然是正确的$\phi_G:S_*(-;G)\times S_*(—;G)\ to S_*(-\ times-;G)$(其中G美元$是阿贝尔群,例如当$G=(R,+)$是与环关联的加法群R美元$.)
对于定理的存在部分,您需要一个环结构。
现在,如果你检查构建的地图$\tau\circ EZ\cic T$同意$EZ美元$以0度为单位。
对于$X=Y=pt$我们确定$S_0(pt,R)=R$.地图T美元$将成为身份和$\tau:R\otimes R\到R\otimes R$是$r\时间s \映射到s \时间r$.EZ地图$\phi_R$将是环乘法。所以我们总得检查一下$$r\cdots\overset{?}{=}s\cdotr$$
编辑:(阅读评论后)以上只是“检查”所需的身份$X=Y=pt$,我并不是说这是任何证据。这只是为了强调R美元$对于上同调的“通常”分级交换性应该是必要的。
备注:如果您的戒指分级为可交换且美元\套$链复合物的单体范畴中的编织R美元$相应的叉积仍然是分级交换的。。。也许“编织环”更通用(不知道这个概念是否存在)