通过归纳法用$A$，$B$有限集证明$|A\集减B|=|A|-|A\cap B|$

Question

如何显示以下内容$|A\set-muse-B|=|A|-|A\cap B|$通过感应（如果可能）。

第一种方法是：

感应基本情况

$\对于所有B\in\epsilon_0$（可数-集基数0）对于所有A\in\epsilon：|A\set-B|=|A|-|A\cap B|$，使用$B\in\epsilon_0\表示|B|=0\当B=\空集$.因此$|A\setminuse\emptyset |=|A|-|A\cap\emptyset|\iff|A|=|A |$

诱导步骤

$\对于所有B\ in \ epsilon_{n+1}\对于所有A\ in \ε：|A\set-B|=|A|-|A\cap B|$，带有假设$\对于所有B\ in \ epsilon_{n}\对于所有A\ in \ε：|A\set-B|=|A|-|A\cap B|$

然而，我似乎不知道如何在归纳步骤中使用这个假设。可能通过使用$D:=B\设置减号\{x\}\在\epsilon_{n}中$有人能提供一些直觉吗？或者这种方法是否有缺陷？

Answer 1

你有一套$D=e_n中的B\设置减号\{x\}$考虑这两种情况，A中的$\{x\}\$和$\{x\}\n不在A中$，并显示每种情况下的等式。

请注意，这需要您查看$\lvert服务器=1$因为归纳步骤需要从较小的集合中选择一个元素。