为什么空集是开放集？

Question

我考虑了很长时间，但我没有想出一些好主意。我认为空集没有元素，如何用开集的定义来证明命题。开集的定义：n维空间中的集合S称为开集，如果它的所有点都是内点。

Answer 1

它是空虚地真的。所有积分$\in\emptyset$都是内部积分，有一只蓝色的宠物独角兽，并且住在萨里郡。

Answer 2

下面是另一个视角：

假设空集是不被认为是开放的。

考虑正弦函数$\sin\colon\Bbb R\to\Bbb-R$。

那么$（3\，.\，.\\，4）$是打开的（大概），但$\sin^{-1}（3\、.\，.，4）=\varnoothing$不是打开的，因此正弦函数不是连续的。

我们不想那样！

另一件事：开集的关键属性之一是任意两个开集的交集是开放的。如果空集不被认为是开放的，那么这就不再是真的了。

Answer 3

我的回答无法与@HagenvonEitzen的智慧和观点相比较，但这里有一种思考方式：

空集的补集是整个集，当然它包含了包括所有极限点在内的所有内容。因此，整个集合是封闭的，因此它是恭维的，空集合是开放的。

黑根的论点可以表明空集是闭合的，而整个集是开放的。因为空集中的所有点都是极限点，所以空集是闭合的。所以，这是一种恭维，整个场景都是开放的。

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另一种（更好的）思考方式：

拓扑空间推广了度量空间的概念。在这个视图中，函数是连续的，当开集的逆图像是开的时。因为将整个空间映射到单个点的函数总是连续的，所以空集是开放的。取一个不包含单点的开集。它的反像是空集。

以上是定义的证明，然而，拓扑的定义打开了空集。但知道为什么事情是这样定义的很好。

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最后一点：它应该是“the”空集，因为它是唯一的。

Answer 4

实际上，空集的所有点都是内部点。

这是一个“空洞真实”的说法。

换句话说：如果你产生一个空集的元素，我很乐意证明它是一个内点。这是可以做到的，因为首先你不能制作一个。与拉塞尔在一个虚构故事中的断言相比，“给定一个不一致的命题，我可以证明任何陈述”（意译）。

Answer 5

另一种思考方法是，由于空集没有点，因此在空集中找不到一个不是内部点的点来违反定义。因此，“默认”或空洞地说，这是真的。

Answer 6

这是拓扑的空子族上的联合：仅此而已。

Answer 7

机组内部打开或关闭（或两者都不打开）另一个集合（实际上是一个集合，配有拓扑）。

根据拓扑的定义(https://en.wikipedia.org/wiki/Topology#数学_定义)空集总是开的，其补集（即整个另一个集）总是闭的。

因此，emtpy集在每个拓扑中都是打开和关闭的。

Answer 8

对于为什么在具有不相交开集的空间（在$\mathbb R^n$中肯定是这样的）中这绝对是正确的，另一种思考方法是，then的任何有限集合的交集都必须是开放的。显然，在这些空间中，空集是这样产生的。这是动机，不是一个完整的论点。$\emptyset=\bigcup_｛A\in\emptyset}A$是一个更好的理由。

请注意，这些是一般的拓扑答案，并没有真正与实际空间联系在一起。

Answer 9

因为这是对封闭集合的恭维。

Answer 10

我的思路是通过定义一个子集$E美元$度量空间的百万美元$打开，如果$\对于所有x:x\在E\rightarrowx\text{中是}E的内部点$.如果E美元$表示空集$\空集$，没有x美元$包含在中E美元$，所以这一含义对所有人来说都是自动成立的x美元$.

Answer 11

根据定义，空集是开放的。没有别的了。

Answer 12

考虑开放集的以下定义：对于A中的每个元素，都存在一个包含在A中的元素球。该语句的否定是什么？好的，它是：A中存在一个元素，使得A中不包含所有球。显然，空集不满足开集的否定，因此，空集满足开集定义一定是虚实的。