带标签的根平面树的数量

Question

我正在尝试使用符号方法获得带标签的根平面树的数量。对于未标记的植根梧桐树，我使用$\mathcal{T}=\zeta\times\mathcal{S}（\mathcali{T}）$.然后

$t（z）=z\frac{1}{1-t（z$.

这是加泰罗尼亚数字的GF乘以z。因此，tn是有根的梧桐树n美元$顶点，是第一个加泰罗尼亚数。

现在我在处理标签上的箱子时遇到了麻烦，我知道结果是n美元！t（z）=n！\压裂{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}=\压裂{（2n-2）！}{（n-1）！}$

有人能指导我用符号法得出结果吗？

Answer 1

你已经展示了$[z^n]t（z）=\frac{1}{n}\binom{2（n-1）}{n-1}$是美元（n-1）$圣加泰罗尼亚数字。带标签的根平面树的数量正好乘以$n$（说明标记顶点的方法数量）。

使用符号方法，可以通过注意标记版本的GF也满足以下条件来解释这一点$\mathcal{T}=\mathcali{Z}\times\text{Seq}（\mathcal{T}）$（其中产品和序列操作用于标记的GF），因此GF与未标记的情况完全相同，所以$n！t（z）=n！\裂缝{1}{n}\binom{2（n-1）}{n-1}$.