一般互易律的证明（代数数论）

Question

我在学习Neukirch的代数数论，第300~301页，（6.3）定理。

我们从他的书第275页中假设了抽象伽罗瓦理论的知识~

我现在试图理解带下划线的声明。

问题1）什么是固定字段百万美元$p-Sylow子群的？这是否意味着$G_M$，其中百万美元$是一个美元$-Sylow亚组G美元$（参看他的书第275页。G美元$可能是一个特定的深刻群体。）但在证据中，他写道：“$M|K美元$不必是Galois”，“但我们可以使用图的左侧部分，其中$r_{L|M}$是阴沉的。“从他的写作中，我们似乎可以选择百万美元$这样的话$M|K美元$是的子扩展美元L|K$有可能吗？

问题2）什么是美元$-Sylow亚组美元（_p）$属于$A_K/N_{L|K}A_L$（定义见他的书277）？如果$A_K/N_{L|K}A_L$是有限的，那么因为$A_K/N_{L|K}A_L$是阿贝尔的，所以如果美元$是除数的顺序$A_K/N-{L|K}A_L$，那么我们可以证明只有一个美元$-Sylow亚组$A_K/N_{L|K}A_L$。但是

问题2-1）是$A_K/N_{L|K}A_L$有限的？

问题2-2）是否美元$划分顺序$A_K/N_{L|K}A_L$?

问题3）为什么$（[M:K]，p）=1$?

有人帮忙吗？谢谢你的阅读。

Answer 1

有很多评论，但我认为简明扼要会很有用回答回答部分的问题。

（1） 由百万美元$他是指美元$-Sylow亚组$G（L|K）$.具体来说，取一个美元$-Sylow亚组$G_K/G_L$.将采用以下形式$G_M/G_L$，使用$G_L\subseteq G_M\substeq G_K$.然后百万美元$是所需的固定字段。

（2.1）根据类字段公理（6.1），$A_K/N_{L|K}A_L=[L:K]<\infty$.

（2.2）要建立sujectivity，您只需要考虑美元$那道鸿沟$A_K/N_{L|K}A_L$.

（3） 设置$n=[L:K]$，系数n美元$作为百万美元$具有$（m，p）=1$.那是因为$G_M/G_L$是美元$-Sylow亚组$G_K/G_L$,$[G_M:G_L]=p^s$所以$[G_K:G_M]=米$并且是美元$.