拓扑“新生的梦想”

Question

当人们第一次了解拓扑中的商和乘积空间时，可能很自然地会认为它们的行为类似于互逆：

拓扑新生的梦想（TFD）。对于空间X美元$和子空间$\空集\neq Y\subsetq X$，空格$（X/Y）\乘以Y$和X美元$都是同胚的。

不难看出，即使对于非常简单的空间，TFD也是不正确的。例如，pick$X=[0,1]$和$Y=\{0,1\}$，然后$X/Y\乘以Y$是两个副本的不相交并集$S^1美元$，显然与$X美元$.

当TFD成立时，有两种微不足道的情况Y美元$是一个单点，并且当Y美元$是整个空间X美元$.

问：。有吗非平凡的TFD时的示例持有?

我曾尝试过构建这样一个示例，但没有成功。

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一些不完整的观察结果：

• 如果X美元$已连接，则Y美元$也必须如此。否则，$（X/Y）\乘以Y$将断开连接。
• 例如，我们可以应用代数拓扑学的工具来了解TFD的含义$\pi_n（X）\cong\pi_n-（X/Y）\times\pi_n（Y）$这个条件很难满足，因为它意味着商空间的同伦群X美元/年$比X美元$这通常失败得很惨。类似的想法也可以应用于同调群和上同调群。
• 上述一点的特例表明，如果X美元$简单连接，然后两者都连接Y美元$和X美元/年$是简单连接的（以基本组为例$\pi_1美元$).

感谢您的任何意见！

Answer 1

有许多例子$X/Y\从X开始$和$X\次Y\cong X$从中可以看出$X/Y\次Y\从X$。最简单的可能是如果X美元$是无限离散空间年美元$是的任何非空子空间X美元$这样的话$|X\设置负Y|=|X|$。对于一个不那么简单的示例，您可以$X=\mathbb{Q}$或$X=\{0,1\}^\mathbb{N}$和Y美元$的任何非空有限子集X美元$（对于这些，需要一些工作来证明$X/Y\从X开始$).

下面是一个非常重要的例子，其中X美元$是CW复合体。让$X\subset\mathbb{R}^2$是所有半径圆的并集$1$以形状的点为中心（2a，3b）美元$哪里$a，b\in\mathbb{Z}$这是连接在单点上的无限多个无限“圆链”的不相交并集。让$Y=\{（0,1），（0，-1）\}$.然后$X/Y\聪X$，因为这个商只是取其中一个圆并将其捏在一起形成两个圆（所以它的圆链仍然是无限的圆链），并且$X\次Y\cong X$因为该产品只是将已经无限多的圆环链增加了一倍X美元$.

Answer 2

一类潜在的示例：如果X美元$是无限离散的$|X|=\kappa\ge\aleph_0$.

然后任何子空间Y美元$也是离散的$X{/}Y$。两个离散空间的乘积也是离散的，因此可以归结为大小，因为离散空间是同胚的，只要它们具有相同的基数：

如果Y美元$是有限的，TFD保持为$X{/}Y$大小与相同X美元$和$|X|=|X|\次n$对于$\卡帕$无限和n美元$有限的。

如果$\lambda:=|Y|<|X|$而且也是无限的$|X{/}Y|=\kappa$仍然而且确实$\kappa\次\lambda=\kappa$因此TFD成立。

如果$|Y|=|X|$有些情况取决于$|X\设置负Y|$，检查一下。

另一个潜在的类别：不凝空间，因为所有子空间和子空间的商都是不凝的，同胚只是取决于大小。

Answer 3

这里有一个连接紧凑型Hausdorff具有此属性的空间：希尔伯特立方体 $X:=[0,1]^\omega（美元）$。我们可以选择$Y:=\{x\in[0,1]^\omega\mid-x_1=0\}\subset x$.

诚然，这仍然是一个“Eric Wofsey类型的示例”：它满足了$X/Y\聪X$和$X\次Y\cong X$，现在我想知道是否有既不满足这两者的例子。

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证明$X/Y\聪X$

希尔伯特立方体可以用以下凸紧子集来识别$\ell^2$:

$$X:=[0,1]\次[0,1/2]\次[0,1/3]\次\cdots$$

我相信商$X/年$同胚于以下子集X美元$:

$$X/Y\cong\Big\{X\in X\；\Big\ vert\；X_i\le\frac{x1}i\文本{表示所有$i\ge2$}\Big\}$$

我进一步认为这仍然是一个凸紧子集$\ell^2$无限维。维基百科声明$\ell^2$与希尔伯特立方体同胚。