为什么行列式是任意维平行六面体的体积？

Question

对于$n=2$，我可以想象行列式$n\次n$矩阵是通过坐标计算平行四边形的面积。但是，人们怎么能轻易地意识到这对任何维度都是正确的呢？

Answer 1

如果列向量线性相关，行列式和体积都为零。所以假设线性独立。将一列的倍数相加时，行列式保持不变。这对应于平行六面体的倾斜平移，它不会影响其体积。通过这种运算的有限序列，您可以将矩阵转换为对角线形式，其中行列式（=对角线项的乘积）和“矩形”体积（=边长乘积）之间的关系很明显。

Answer 2

这是与Muphrid的论点相同的论点，也许是以一种基本的方式写的。

将Gram-Schmidt正交化应用于$\{v_{1}、\ldots、v_{n}\}$，以便\开始{eqnarray*}v{1}&=&v{1{\\v{2}&=&c_{12} 五_{1} +v_{2}^{\perp}\\v{3}&=&c_{13} v（v）_{1} +c_{23}伏_{2} +v_{3}^{\perp}\\&\v个\结束{eqnarray*}其中$v{2}^{\perp}$与$v{1}$正交；和$v{3}^{\perp}$与$span\left\｛v_1｝、v_2｝\right\｝$等正交。

由于行列式是多线性的，反对称的，那么\开始{eqnarray*}\det\left（v{1}，v{2}，v{3}，\ldots，v{n}\right）&=&\det\lert（v{1'，c_{12} v（v）_{1} +v_{2}^{\perp}，c_{13} v（v）_{1} +c_{23}伏_{2} +v_{3}^{\perp}，\ldots\right）\\&=&\det\left（v_{1}，v_{2}^{\perp}，v_{3}^{\\perp}，\ldots，v_}n}^{\ perp}\right）\\&=&\mbox{签名卷}\left（v_{1}，\ldots，v_{n}\right）\结束{eqnarray*}

Answer 3

在2d中，使用叉积计算由两个向量跨越的平行四边形的面积。在3d中，使用三重标量积计算平行六面体的体积。这两个都可以用行列式来表示，但你可能不清楚什么是对更高维度的适当概括。

这种概括称为楔形产品给定$n$向量$v_1、v_2、\ldots、v_n$，楔形积$v_1\wedge v_2\wedge\ldots\wedge v_n$称为$n$-向量，其大小为$n$平行六面体的$n$-volume。

楔形积和行列式之间的关系是什么？其实很简单。对于$k$-向量，线性映射有一个自然的泛化。给定一个线性映射$\下划线T$（可以表示为矩阵），该映射对$k$-向量的作用定义为

$$\下划线T（v_1\楔形v_2\楔形\ldots\wedge v_k）\equiv\下划线T（v_1）\wedget\underlinet T（v_2）\weedge\ldots/wedge\ underlined T（v_k$$

当谈论$n$-维空间中的$n$-vectors时，重要的是要意识到这些$n$-fctors的“向量空间”实际上是一维的。也就是说，如果你考虑体积，在给定的空间中只有一个这样的单位体积，所有其他体积都只是它的标量倍数。因此，当我们讨论线性映射在$n$-向量上的作用时，我们可以看到

$$\下划线T（v_1\wedge v_2\wedget\ldots\wedge v _n）=\alpha[v_1\widge v_2 \wedge\ldots\widge v-n]$$

对于一些标量$\alpha$。实际上，这是一个独立于坐标系的行列式定义！

当你用$n$向量$f_1，f_2，\ldots，f_n$作为矩阵的列构建矩阵时，你真正要做的是：你是说，如果你有一个基$e_1，e_2，\ldot，e_n$，那么你定义了一个映射$\underline T$，使得$\under T（e_1）=f_1$，$\undertline T（e_ 2）=f_2$，因此，当您输入$e_1\wedge e_2\wedge\ldots\wedge e_n$时，会得到

$$\underlinet T（e_1\wedge e_2\wedget\ldots\wedge e_n）=（\det\underlined T）e_1_wedge e_2\wedged\ldots\widge e_n=f_1\wedge f_2\weedge\ldots\ wedge f _n$$

这就是使用矩阵行列式计算体积的方法：这只是构造自动计算楔形积的东西的一种简单方法。

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编辑：人们如何能看到楔形产品准确地给出了平行六面体的体积。任何向量都可以分解为与另一向量、平面等（或任何$k$-向量）相关的垂直和平行部分。因此，如果我有两个向量$a$和$b$，那么楔形积$a\wedge b=a\weedge b_\perp$，其中$b_\perp$实际上是平行四边形的高度。类似地，如果我用向量$c$构造一个平行六面体，那么楔形乘积$a\wedge b\wedget c=（a\weedge b_\perp）\wedged c_\perp$，其中$c_perp$与$a\vedge b_\perp$完全垂直。因此，我们可以递归地对任何$k$-向量执行此操作，而只需查看正交向量，从中查看体积要简单得多。

Answer 4

矩阵a的行列式是满足以下条件的唯一函数：

1. $\det（A）=0$当两列相等时
2. 行列式在列中是线性的
3. 如果A是身份$\det（A）=1$.

你可以很容易地说服自己，定向音量$\operatorname{vol}（v_1、v_2、\ldot、v_n）$之间$v_1、v_2、\ldot、v_n$向量是一个函数，如果我们将向量作为矩阵的列来放置，它将满足完全相同的属性$A=（v_1，\ldot，v_n）$.因此$\operatorname{vol}（v_1，v_2，\ldots，v_n）=\det（A）$.

Answer 5

行列式涉及前两个向量的叉积和结果与第三个向量的点。叉积的结果是一个向量，其大小是其零空间的面积。简单地说，3D中的任何平面都是其法线的零空间。平面的大小由法线的长度定义。通过将此法线投影到第三个向量上，可以找到体积。

Answer 6

你也可以在更高的维度中调用变量转换定理。安n美元$-维平行六面体$\mathcal P=\ mathcal P（a_1，\dots，a_n）$在里面$\mathbb卢比$（其中$a_i$是独立向量$\mathbb卢比$)是全部的集合x美元$这样：$$x＝c_ 1a_1+\dots+c-ka\n，$$具有$0\leq c_i\leq 1$.我们可以定义线性变换$h（x）=A\cdot x$，其中美元$是$n\次n$矩阵，带有$a_i$作为其列。这给了我们$\mathcal P=h（[0,1]^n）$.的体积$h（[0,1]^n）$等于$h（（0,1）^n）$（这些集等于测度零集的模），因此我们可以应用变量转换定理：$$v（mathcal P）=\int_{h（（0,1）^n）}1=\int_{（0,1）^n}\vert\det Dh\vert=\vert\det A\vert。$$

编辑：

正如评论中所指出的，从概念上讲，这个论点是循环的。或者，可以证明n美元$-维勒贝格测度$\lambda^n美元$以这种方式进行转换，即：

给定一个（可逆）线性映射$A:\mathbb R^n\to\mathbb-R^n$，我们有$$\λ^n（A（B））=\vert\det A\vert\lambda^n（B）$$对于任何Borel可测量集合十亿美元$属于$\mathbb卢比$.

证明使用向前推的方法$\lambda^n（A（-））$并调用唯一性${}^{(1)}$关于Lebesgue测度，以及一些初等线性代数：首先证明对角线矩阵和正交矩阵的变换规则成立，然后使用任何可逆矩阵美元$可以写成美元UDV$哪里美元，V$是正交的，并且D美元$是对角线。

${}^{(1)}$无论如何$\亩$在$\mathbb卢比$这样的话$\mu（[0,1]^n）<\infty$我们有$\mu=\mu（[0,1]^n）\cdot\lambda^n$.

有关详细信息，请参阅Schilling的书《度量、积分和鞅》（附录C平行管的体积）。