我认为乔初问题中的真正困惑从未得到解决。我将解决问题陈述的第一句提出的术语问题，但问题陈述的第二句与第一句不一致：在$C$中的pro-objects和$C$上的preshift之间，以及$C$的pro-oobjects与$\mathsf{Set}的cofiltered limits之间，只有微弱的联系$-值函子。
让$C$成为一个类别。$C$中的pro-object是$C$的正式共过滤限制。这可以用共过滤类别$I$中的函子$I\overset{F}{to}C$表示。或者它可以表示为$C$，$[C，\mathsf{Set}]^\mathrm{op}$的自由完成对象，它是$I\overset{F}{to}C\overset{cY}{to{[C，\ mathsf}]^\ mathrm}op}$（其中$cY$是co-Yoneda嵌入）的极限。极限在$[C，\mathsf{Set}]^\mathrm{op}$中，所以当我们用函子$C\to\mathsf{Set}$来讨论它时，它实际上是一个过滤大肠杆菌共表示函子，而不是共过滤极限代表人。
这在许多方面都令人放心。让我强调几点：
乔楚在评论中提到的诉讼中的用法非常合理。
与pro-objects对偶，$C$中的ind-object是$C$的正式过滤colimit，即$[C^\mathrm{op}，\mathsf{Set}]$中表示的过滤colimite。所以$\mathrm{Pro}（C）=\mathrm{Ind}（C^\mathrm2{op}）^\mathr{op}$。这很好；形式上的共过滤极限当然应该是相反类别中的形式上的过滤colimit。
$\mathrm{Ind}（C）$具有许多良好的形式属性，这些属性与$\mathsf{Set}$中的有限极限与过滤的共线进行交换这一事实有关。由于$\mathrm{Pro}（C）$只是相反类别中的$\mathsf{Ind}$，因此它应该具有所有相同的形式属性。但是$\mathsf{Set}$（或$\mathf{Set{$-valued函子的一类）中的共过滤极限没有同样好的形式属性，因为$\mathrf{Setneneneep$不是自对偶的。因此，对偶不应将$\mathsf{Set}$-valued函子的过滤集合变成$\mathf{Set{$-value函子的共过滤极限。
将可表示函子$C^\mathrm{op}\称为\mathsf{Set}$的共滤极限的诱惑，大概是类似于“profinite群”这样的东西，在这里我们经常沿着函子$\mathrm{Pro}（\mathrm2{FinGp}$由明显函子$\mathrm{FinGp}\to\mathrm{TopGp}$和$\mathrm{Pro}$的通用性质所诱导。由于滥用语言，我们称这种形象为“亵渎群体”。类似地，在这里，我们有一个由Yoneda嵌入和$\mathrm｛Pro｝$的通用属性诱导的函子$\mathrm｛Pro｝（C）\ to[C^\mathrm｛op｝，\mathsf｛Set｝]$，我们想根据$C$中的Pro对象沿着这个函子的图像来考虑它。
这实际上造成了一个相当棘手的术语难题。我认为你可以用术语“$C$上的预表示预处理”来表示$C$的可表示预处理的共过滤极限，只要你小心地将其与“$C^\mathrm{op}$上的可表示前预处理”区分开来，后者应该指代$\mathrm{pro}（C^\mathrm{op}）$的对象，即$C^\mathrm｛op｝$上的可表示共重的过滤colimit，这不是一回事。
