让n美元$是样本大小。自$S^2美元$根据$X_i$我们知道这一点
$$X_i\sim N（\mu，\sigma^2）$$
$$\frac{（n-1）S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2（n-1$$
高斯rv和奇偶rv之和的分布是广义齐方分布.A变量$\xi美元$广义齐方分布可定义如下：
$$\xi=x+\sum_1^n w_i y_i\text{其中}x\sim n（m，s），\；\；w_i\in\mathbb{R}，\；\；y_i\sim\chi'^2（k_i，\lambda_i）\text{和}y_i\text{independent}$$
请注意$\chi'^2（k_i，\lambda_i）$是非中心齐次分布，它与X平方相关如下：
$$\chi^2（n）=\chi'^2（n，0）$$
在您的案例中，我们需要单个Chi-Squared变量和Normal变量的总和，其中Chi-Squired基于Normal随机变量的样本方差：
$$\xi=x+wy\；\；\text｛where｝x\sim N\left（\mu，\frac｛\sigma^2｝｛N｝\right），\；y\sim\chi'^2（n-1,0）$$
重量变量呢$w美元$? 如果$w=1$然后$\xi美元$表示以下总和：
$$\bar{X}+\frac{（n-1）S^2}{\sigma^2}$$
但我们希望：
$$\bar{X}+S^2$$
因此，为了得到这个总和，我们需要改变应用于方形变量的权重年美元$:
$$w=压裂{西格玛^2}{n-1}$$
这样我们就有了我们需要的：
$$\bar{X}+S^2\sim\xi=X+wy\；\\\\text｛where｝x\sim N\left（\mu，\frac｛\sigma^2｝｛N｝\right），\；y\sim\chi'^2（n-1,0），\；w=\压裂{\西格玛^2}{n-1}$$
总之
$$\bar{X}+S^2\sim\tilde{\chi}^2\left（\frac{\sigma^2}{n-1}，n-1,0，\mu，\sigma \right）$$
