三个专业十一分之四学生的代表性选择

Question

我主修哲学，目前正在修逻辑课。我在这个问题上遇到了困难，我想你们所有的数学家都能帮我解决。

有五个哲学专业、四个宗教专业和两个音乐专业的学生创建了一个俱乐部。他们想挑选四个人代表俱乐部参加全国会议。

1. 如果必须选择至少一个哲学专业，有多少种方法可以做到这一点？
2. 如果他们希望每个专业至少有一名代表，有多少种方法可以做到这一点？

这是我的作品：

1. 美元$
2. 美元$

任何帮助都将不胜感激。谢谢您。

Answer 1

对于b），

您必须从每个组中选择至少$1$。对于你在哲学专业所做的每一个$\displaystyle\binom{5}{1}$选择，你可以在宗教专业组中做出$\disposystyle\\binom{4}{1{$选择，在音乐专业中做出$\ displaysttyle\binom}{2}{1neneneep$选择。所以你会得到，

$$\binom{5}{1}\binom}{4}{1\binom{2}{1{$$

然后剩下1美元，从哪里选择8美元。因此，有$\displaystyle\binom{8}{1}$方法来选择剩下的$1$。现在乘以所有得到，

$$\binom{5}{1}\binom}{4}{1{5}\binom{2}{1neneneep \binom[8}{1neneneei=5\cdot4\cdot2\cdot8$$

编辑：由于第一个和第二个代表在应用时是在不同的“时间”选择的，因此正在进行排列。因此，结果必须除以$2$。最终结果是160美元。

Answer 2

对于a，看起来（一些解释会让它更清楚），你正在尝试将选择$m$哲学专业的方法数量乘以选择$400$其他专业的方法的数量。这是一个很好的方法，但不应该有第一个术语。如果你只是随便选四个，那就是${5\choose0}{6\choose 4}$，但这是不允许的，因为你需要哲学专业。

b很好。

补充：另一种方法是说如果你忽视了哲学专业的限制，有${11\choose4}$种选择代表的方法。有${6\choose4}$种方法来挑选没有哲学专业的代表，所以可以接受的组数是${11\choose 4}-{6\hoose4{$