$ABCD$是一个凸四边形。如果$\角度BAC=10°$，$\角度CAD=40°$，$1\角度ADB=50°$，$角度BDC=20°$，则找到$\角度CBD$。

Question

美元ABCD$是一个凸四边形。如果$\角度BAC=10°$,$\角度CAD=40°$,ADB角=50°$,$\角BDC=20°$，然后查找$\angle中央商务区$.

这个问题出现在上个月的一次当地数学竞赛中。我知道这种追逐角度的问题叫做不定角，这在这篇维基百科文章。但由于这不是$80$-$80$-$20$三角形，我认为这是一个不同的问题，我不能完全解决这个问题。为了理解这种追角问题，我试图用三角法和几何法来解决这个问题。以下是我的工作方式：

三角解：
让P美元$是…的交叉点美元AC$和$BD（美元）$然后，在中应用正弦规则$\三角形PAB$,美元\三角形PBC$,$\三角形PCD$和$\三角形PAD$并将它们相乘$$\sin（x）\sin（70°）\sin$$ $$表示tan（x）tan（60°+10°）tan[60°-10°]tan（10°）=1$$使用计算器，我发现$x=60°$但由于比赛不允许使用计算器，我认为不知道$\tan（10°）$因此，我需要一个不使用计算器且不使用$\tan（10°）$.

几何解决方案：
为了用几何方法解决这个问题，我注意到$\三角形ABD$和$\三角形ACD$都是等腰的$AB=基本设计$和$AC=广告$分别是。然后我试着做一个等边三角形。但我不知道该怎么做。
我还试着画圆心十亿美元$和圆弧美元$.但是C美元$不在圆圈上$\角度ACD=70°$。所以，我无法继续。带中心的圆也一样美元$和圆弧$CD$.

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所以，我需要完成我的解决方案。欢迎提出任何有用的想法。

Answer 1

从构造等边三角形开始$AMD公司$如上图所示。请注意，自$AB=基本设计$，那么$\球角AMB=\球角BMD=30 ^\约$通过对称性。我们很容易计算$\sphericalangle MAB=10^\circ$从那以后$AM=交流$，表示$\三角形AMB\cong\三角形ABC$因此，$\sphericalangle AMB=\sphericale ACB=30^\circ$所以所需的角度实际上等于约60美元$.

Answer 2

定理。

$$\tan（x+\pi/3）\tan（x-\pi/3”）\tan x=-\tan 3x$$

证明。让$y=\tan x$.然后

$$\tan（x\pm\pi/3）=\frac{\tanx\pm\tan\pi/3}{1\mp\tanx\tan\pi/3}=\frac{y\pm\sqrt{3}}{1\\mpy\sqrt}}$$和$$\tan 2x=\frac{2\tanx}{1-\tanx^2}=\frac{2y}{1-y^2}$$然后$$\开始{align}\tan 3x&=frac{tan x+tan 2x}{1-tan x\tan 2x}\\&=\压裂{y+\压裂{2y}{1-y^2}}{1-\frac{2y^2}{1-y ^2}}\\&=\压裂{y（3-y^2）}{1-3y^2}\\&=-\frac｛（y+\sqrt｛3｝）（y-\sqrt｛3｝）｝｛（1-y\sqrt｛3｝）（1+y\sqrt｛3｝）｝y\\&=-tan（x+\pi/3）\tan（x-\pi/3。\结束{对齐}$$

这当然不是最简单的方法，但它满足了您为三角证明指定的标准。

Answer 3

我们使用结果$$\sin x\sin\left（\frac｛\pi｝｛3｝+x\right）\sin\left（\frac｛\pi｝{3} -x\右）=\压裂{1}{4}\sin 3x$$

在三角形中使用正弦定律$CPD、PDA、PAB、BPC$，我们最终$$\tan x=\ frac{\sin\left（\frac{\pi}{9}\right）\ sin\left$$

$$=\frac{\sin\left（\frac{\pi}{3}\right）}{\sin\ left（\frac{\pi{6}\rift）}=\sqrt{3}$$

从中可以看出$x=\frac{\pi}{3}$，假设为凸性