我们有一个线性变换$T=\pi（\sigma_{12}）$我们想知道如何写下矩阵美元$什么时候T美元$以不好的（歪斜的）基础表示。如果这是一个很好的基础，那么点积很容易给出我们的答案。
原则上，即使在糟糕的基础上，这也很容易。即使您在操作之前使用不同的空间基础，此技术仍然有效T美元$而不是后面的空间（域和范围）。我会用的$\vec{e}$意思是“之前”和$\vec{f}$意思是“之后”，但在你的问题（我认为所有的量子力学）中，我们会使用相同的基础，所以美元\vec{e} _1个=\矢量{f} _1个=\alpha_1=（1，-1,0）^T$和美元\vec{e} _2=\矢量{f} _2=\alpha_2=（0,1，-1）^T$。当然，我们也会在QM中使用统一基础：-）
如何计算矩阵
取域的每个基向量美元\vec{e} _1个$,美元\vec{e} _2$等，并应用T美元$来得到一些答案。然后用范围的基向量写出答案，美元\vec{f} _1个$,美元\vec{f} _2$等。系数构成美元$.
例如，如果$T（\vec{e} _1个)=-\vec{f} _1个$那么第一列（首先从“1”到“e”）是$\开始｛bmatrix｝-1\\0\结束｛bmatrix｝$.
如果$T（\vec{e} _2)=\vec{f} _1个+\vec{f} _2$，则第二列为$\开始｛bmatrix｝1\\结束｛bmatrix｝$.
所以$A=\begin{bmatrix}\uparrow&\uparro\\T（\vec{e} _1个)&T（\vec{e} _2) \\ \downarrow&\downarror\end{bmatrix}=\begin{bmatricx}-1&1\\0&1\end{bmmatrix}$我假装的地方$T（\vec{e} _1个)$和$T（\vec{e} _2)$实际上是系数，而不是基向量的组合。
为什么它有效？
当你将矩阵乘以一个坐标向量时，原因很清楚。如果我们表示一个向量$\vec{v}=a\vec{e} _1个+b\vec{e} _2$在坐标系中，它只是$\开始{bmatrix}a\\b\结束{bmatricx}$特别是，美元\vec{e} _1个$由表示$\开始{bmatrix}1\\0\结束{bmatricx}$如果$A=\开始｛bmatrix｝A_｛11｝和A_｛12｝\\A_｛21｝和A_｛22｝\结束｛bmatrix｝$然后$T（\vec{e} _1个)$由表示$\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_22}\end{bmatricx}\begin{bmatriax}1 \\0\end{bmmatrix}=\开始{bmatriex}1 A_{11}+0 A_{12}\\1A_{21}+0 A-{22}\end}=\结束{bmattrix}A_11}\\A_{21}$
换句话说，美元\vec{e} _1个$只取第一列。通用版本很容易记住：
$\开始{bmatrix}A_{11}和A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmattrix}\begin{bmatricx}A\\b\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatricx}+b\开始{bmatrix}A_{12}\\A_{22}\结束{bmatricx}$
坐标向量中的条目告诉您每列美元$用于回答。
为什么我们要为漂亮的底座而烦恼？（为什么坏基是坏的？）
在这个小例子中，我希望你认为“这并不难”。那么，为什么我们称偏倚基础是坏的呢？原因是转换$T（\vec{e}）$基本元素的系数美元\vec{f} _ i$可能很难！
在幺正基础上，只需使用点积来求系数。在不好的基础上，你“求解一个线性系统”，可能使用高斯消去或其他一些技术。它不是超硬的，但比点积难得多。
