如果集合中的每个整数都除以集合中所有整数的和，则不同正数的有限集合是特殊的。

Question

如果集合中的每个整数都除以集合中所有整数的和，则不同正数的有限集合是特殊的。证明每个有限正整数集都是某些特殊集的子集。

我尝试了什么：-我试图通过矛盾来解决这个问题。假设不存在一个有限的正整数集，它是某个特殊集的子集。让集合包含元素$（a_1，a_2，…，a_k）$那么就不存在比这个特殊的集合更大的集合，其中包含所有相同的元素。从这里我无法解决它。

编辑：-作为小例子，我们有$(1,2,3)$一个特殊的集合；因此$(1,2),(2,3),(1,3)$是该集合的子集。对于$(1,4)$我们有$(1,2,4,7,14)$，尽管$6$和$28$都是完美数字。

如果我们有一个集合，它不是一个完美数因子的子集，比如$(1,5)$; 我们还有一套特别的$(1,4,5,10)$哪里$(1,5)$位于它的子集。我没有找到任何线索或方法来获得这些特殊集。

现在有人能帮忙吗？

Answer 1

比如给我们一套美元$，和%s美元$。我们假设美元$不只是由以下权力组成$2$; 如果是这样，我们可以简单地将数字加到集合中$3$首先，让美元$足够大，以便$2^a>2美元$，表示$2^a-s不在s中$，并定义$S'=S\杯\{2^a-S\}$，所以S美元$有总和2美元$.让n美元$是所有元素的产物S美元$，并让十亿美元$足够大，以便2万亿美元$.

我们现在构造一个集合$S“$包含S美元$加总$2^{a+b}n$，其中的所有元素都可以划分$2^{a+b}n$.自n-1美元$小于20亿美元$，使用它的二进制表示，我们可以表示n-1美元$作为不同元素的总和$\{1，2，4，\点，2^{b-1}\}$，因此我们可以表达$2^a（n-1）$作为不同元素的总和$\{2^a，2^{a+1}，\点，2^}a+b-1}\}$.让T美元$是出现在后一个和中的元素的子集。然后定义$$S''=S'\杯T\杯{2^an，2^{a+1}n，\点，2^}a+b-1}n$$正如您可以检查的$S“$分$2^{a+b}n$，并且这个组合中的三组是不相交的（因为n美元$不是的力量$2$)，因此$S“$有总和$2^a+2^a（n-1）+（2^{a+b}n-2^an）=2^{a+b}n$，表示$S“$是特别的。

Answer 2

这是一个部分答案。显然，这足以表明$[n]=\l种族1,2,3，\ldot，n\r种族$包含在每个n美元$，因为任何有限的正整数集都包含在【n】美元$。我在下面描述了一个算法，我检查了该算法以在每个【n】美元$对于8美元\leq n \leq 20$.

这是算法。它从一个初始有限集开始美元$我们一次增加一个元素，直到到达一个特殊的集合。

步骤1。计算总和$s=\sum_{a\在a}中$.

第2步。计算$X_1=\l种族a\|\a\not\mids \r种族$.如果X_1美元$是空的，那么美元$很特别，我们完成了。否则，让$x_1$是中最小的元素X_1美元$.

步骤3。计算$X_2=在a\|\a\mids\r轨道中的轨道a\r$（所以X_2美元$是的补语X_1美元$在里面美元$). 表示方式1美元$元素的lcm美元$（特别地，$l=1美元$如果X_2美元$为空）。

步骤4。让百万美元$是满足以下三个条件的最小整数：（1）大于美元$，（2）它可以被1美元$，（3）金额$s+M美元$可除以$x_1$（注意，同余条件通过构造是兼容的）。

步骤5。更换美元$具有$A'=A\cup\lbrace M\rbrace$并返回到步骤1。

什么时候？$n=50$例如，该算法最终生成了99个元素的特殊集合

$$[50]\cup\lbrace 1275，2550，30600，35700，142800，2142000，28274400，30630600，1102701600，25607181600，53542288800，2248776129600，69872686884000，7220177644800，5198527904169600，213717258282528000，92005279696283400，43330105530491139600，265632860782891200，123961780169839886825600，3099445042459967064000，4648567536899505960000， 511342343200589456556000, 5113423432005894565560000, 6136108118407073478672000, 269988757209911233061568000, 1129043893786901520075648000, 29637402211906164901985760000, 31048707079139791802080320000, 1241948283165591672083212800000, 24776868249153553858060095360000, 469456451036593652047454438400000, 8424135204712208311740432422400000, 142714761115124470222426149273600000, 2274516505272296244169916754048000000, 33966113145399623912937423527116800000, 473099433096637618787342684841984000000, 6113900366171932304328736234881024000000, 72857312696882193293250773465665536000000, 794807047602351199562735710534533120000000, 7868589771263276875671083534291877888000000, 69943020189006905561520742527038914560000000, 550801283988429381296975847400431452160000000, 3776923090206372900322120096460101386240000000, 22032051359537175251879033896017258086400000000, 105753846525778441209019362700882838814720000000, 396576924471669154533822610128310645555200000000, 1057538465257784412090193627008828388147200000000,158630769788667618135290440513242582220800000000\r种族$$

Answer 3

TL；DR：使用任何非特定集合美元$对于不同的整数，让元素的和为%s美元$. The$\运算符名称｛lcm｝$的所有元素美元$，称之为q美元$，始终可以成为实际数，称之为百万美元$，乘以一个适当的整数。然后存在一个集合十亿美元$不同倍数的%s美元$，其中每个元素除以美元$是一个因素百万美元$元素之和为（百万-1）美元$.然后$A\杯B$是一个特殊的集合。

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如果正整数的有限集本身是一个特殊集，那么您可以只使用它n美元$是元素数，任何非特定集合都有$n\gt 1美元$此外，在这些情况下，将集合设置为$A=\{A_i\}_{i=1}^{n}$然后让

$$s=\sum_{i=1}^{n} a_i\标签{1}\标签{eq1A}$$

考虑将%s美元$形成一个特殊的集合。例如，如果$A=\{2,3\}$，然后美元=5$，使用$2(5) = 10$和$3(5) = 15$加上一个新的和就足以形成一个特殊的集$30 = (2)(3)5$一般来说，新总额的系数至少必须为$\运算符名称{lcm}$，称之为$q美元$，在所有$a_i$，加上%s美元$也必须除以总和，但如果需要的话，可以有更多的因子。

对于一些人$j\ge 1美元$，让$B=\{B_i（s）\}_{i=1}^{j}$，其中b_i美元$是不同的正整数，是%s美元$正在添加，以获取

$$S_t=S+\sum_{i=1}^{j} BI公司（s） =s（1+\sum_{i=1}^{j} BI公司)\标签{2}\标签{eq2A}$$

哪里S_t美元$是中元素的总和$A\杯B$接下来，让

$$m=1+\sum_{i=1}^{j} BI公司\标签{3}\标签{eq3A}$$

你一定有$b_i\mid-m\；\所有\；第1页$，加上$q\毫秒$.

注释a实际数是

…一个正整数n美元$这样所有较小的正整数都可以表示为n美元$.

这意味着如果百万美元$是一个实际数字，有不同的$b_i美元$，这些都是百万美元$，这给了$\sum_{i=1}^{j} BI公司=米-1$.关于实际数字的要求实数的特征截面状态

大于素数因式分解的正整数$n=p_1^{\alpha_1}\ldot p_k^{\alpha_k}$（素数按排序$p_1\lt p_2\lt \dots\lt p_k$)当且仅当其每个主要因素都是可行的$p_{i}$足够小美元_{i} -1个$表示为较小的除数之和。如果这是真的，第一个素数$p_{1}$必须等于$2$并且，对于每个1美元$从$2$到千美元$，每个连续素数$p_{i}$必须遵守不平等$$p_{i}\leq1+\sigma（p_{1}^{\alpha_{1{}}p_{2}^{\ alpha_2}}\dots p_{i-1}^}\alpha_1}}）=1+\prod_{j=1}^{i-1{\ frac{p_{j}^{alpha_}+1}$$哪里美元\西格玛（x）$表示除数之和属于x美元$.

如前所述，如果需要，您可以添加更多因素，例如$2$或者，也可以是任何素数的一个或多个单因子或多因子，直到所需的最大素数。无论如何，这意味着您可以轻松创建百万美元$它是一个实际数字，并且满足其他条件，因此$A\杯B$形成一个特殊的集合。

Answer 4

另一个部分答案采用了不同的方法。这与埃及分数有关，埃及分数代表一个有理数，分数之和带有分子$1$和不同的分母。如果你用一个特殊的集合除以它的元素之和，你会得到一组埃及分数，其和为$1$.您的设置$\{1,2,3\}$代表了一个事实1美元=压裂66=压裂16+压裂26+压裂36$如果给定一个起始集，则最终的和必须是该集元素的最小公共倍数的倍数。例如，以$\{3,7\}$作为我们的起点。LCM是$21$，所以我们的特殊集合的和将是$21$。我们可以开始尝试多个$21$直到我们找到一个有效的。一种方法是将倍数2.1万美元$，然后查找一组除数，包括$3,7$添加到2.1万美元$。对于$k=1$除数是$1,3,7,21$没有固定的工作。对于$k=2$除数是$1,2,3,6,7,14,21,42$同样，一切都不起作用。对于k美元=4$我们有$1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84$我们发现$84=3+7+1+4+6+21+42$，所以我们的设置是$\{1,3,4,6,7,21,42\}$众所周知，埃及分数的贪婪算法总是终止的，但分母可能会变大。不幸的是，我们不能用它来证明一个人总能找到一个特殊的集，因为要表示的分数会随着倍数的变化而变化千美元$.