有多少内射函数$f:[1，…，m]\到{[1，..，n]}$没有固定点$（百万）$

Question

有多少内射函数$f:[1，…，m]\to{[1，…，n]}$没有不动点$（百万）$

我考虑了下一件事：

$f（x_1）\neq x_1$，表示我可以选择$x_1$-（n-1）选项，

但是，对于$x_2$，有两个选项：

1. 如果我选择$f（x_1）=x_2$，那么对于$x_2$我仍然有（n-1）个选项。

2. 如果我选择$f（x_1）\ne x_2$，那么对于$x_2$我将有（n-2）个选项。

那么我该怎么处理呢？还是我完全错了？

Answer 1

修正整数$a\ge 0$。

我们试图给出无定点注射次数$$f:\｛1,2,3，\dots，m\｝\ to \｛1,2，\dots，m，m+1，\dots，m+a\｝的递推式$$

对于给定的$a$，让$m$的数字为$D_m$。我们有$D_1=a$和$D_2=a^2+a+1$（如果我计算正确，但应该很容易计算）。

我们得到了重现

$$D_m=（m+a-1）D_{m-1}+（m-1）D_2}$$

与我们得到$a=0$情形的递归的方法完全相同：假设$f（1）=j$。那么$j\le m$和$f（j）=1$（对应于$D_{m-2}$）或$f（j）\neq 1\；\文本{或}\；j\gt m$（对应于$D_{m-1}$）。

现在，标准方法（如生成函数）应该能够给出公式。

Answer 2

如果我们用一个带标签的有向图来表示一个无向点注入$f$，对于每一个$x\in[m]$，有向图的边从$x$到$f（x）$，那么该有向图只包含有向路径和定向循环（长度至少为$2$）。

使用“符号方法”（参见弗拉乔莱特和塞奇威克尤其是第二节$5$），这样的有向图的组合类$\mathcal{J}$可以由$$\数学{J}\；=\；\mathrm{SET}[\mathrm{中国青年}_{\geqslate2}[\mathcal{UZ}]\：+\：\mathcal{\mathca{Z}}\star\mathrm{SEQ}[\mathcal{UZ}]]$$其中$\mathcal{Z}$标记有向图中顶点的数量$n$（余域的大小）和$\mathcal{U}$标记有向图中边的数量$m$（域的大小）。

该规范立即为我们提供了（双变量）指数的有向图类的生成函数：$$J（u，z）\；=\；\求和{m，n\geqslate0}\frac{1}{n！}j_{m，n}u^mz^n\；=\；\压裂{1}{1-uz}}{\exp\left（{\frac{z\，（1-u+u^2z）}{1-uz}}\right）}$$系数$j_{m，n}$overcounts无执行点注入的因子为$\binom{n}{m}$，因为我们只想看到带有越界$1$的$m$顶点被标记为$1，\dots，m$的情况。因此非定点注射由提供$$i_｛m，n｝\；=\；米！（n-m）！[u^mz^n]J（u，z）$$其中$[u^mz^n]J（u，z）$表示$u^mz ^n$在$J（u、z）$中的系数。我不知道$I{m，n}$有什么闭合形式。下面是小$m$和$n$的值表：

0   1   2    3    4     5      6       71   3    7   13    21     31      432   11   32    71    134     2279   53   181    465    100144   309   1214    3539265   2119    94031854 16687年14833

这是A076731号在OEIS中，给出了以下包含排除形式：$$i{m，n}\；=\；\裂缝{1}{（n-m）！}\sum{j=0}^{m}（-1）^j（n-j）！\二进制{m}{j}。$$

Answer 3

$\newcommand{\nP}[2]{\，_{#1}P_{#2}}%nP$我们可以想出一种使用包容性-排他性原则的方法。

注意，我们可以计算内射函数的数量N美元$从$$A=\{1,2,3，\dots，m\}\rightarrow B=\{1,2,3，\ dots，n\}$$这样的话$\存在~i.f（i）=i$并从内射函数的总数中减去这个结果$A\右箭头B$哪个是$\nPr{n}{m}=\binom{n}{m}~m$.

让$S_i美元$表示具有$f（i）=i$.

通过纳入-排除，

\开始{align*}N=&+|S_1|+|S_2|+\点+|S_m|\\&-|S_1\cap S_2|-|S_1\\cap S_3|-|S1\cap S3|-\点\\&+|S_1\cap S_2\cap S13|+|S_2\cap S_2\\cap S_4|+\点\\&~~\v个\\&+（-1）^{m+1}|S_1\cap S_2\cap\ dots\cap S_m|\\=&\binom{m}{1}\nPr{n-1}{m-1}-\binom}{m}}\nPr{n-2}{m-2}+\dots+（-1）^{m+1}1\\=&\sum_{i=1}^m（-1）^{i+1}\binom{m}{i}\nPr{n-i}{m-i}\结束{align*}

因此，我们的答案是$$\lambda_{m，n}=\nPr{n}{m}-\sum_{i=1}^m（-1）^{i+1}\binom{m}{i}\nPr}n-i}{m-i}$$

注意-

$\nPr{n}{r}$是排列的符号$\nPr{n}{r}=\binom{n}}~r！=\压裂{n！}{（n-r）！}$

Answer 4

我们可以删除不动点$F$，在这里我们可以看到一个注入$[m]\setminus F\到[n]\setminus F$。通过计算固定点，我们得到$$\sum_{i=0}^m\binom{m}{i} （f）（m-i，n-i）=\binom{n}{m} 米!$$设$k=n-m$，则$$\sum_{i=0}^m\binom{m}{m-i}f（m-i，m+k-i）=\sum_{i=0}^m\binom{m}{j} （f）（j，k+j）=\binom{m+k}{m} 米!$$然后$$f（m，k+m）=\sum_{i=1}^m（-1）^{m-i}\binom{m}{i}\biom{i+k}{i} 我!$$通过下面的引理。那就是$$f（m，n）=\sum_{i=1}^m（-1）^{m-i}\binom{m}{i}\biom{i+n-m}{i} 我！=\frac{1}{（n-m）！}\sum_{i=1}^m（-1）^{i}\binom{m}{j}（n-j）$$

引理。对于两个序列$\{a_n\}，\{b_n\}$，然后$$a_n=\sum_{i=0}^n（-1）^i\binom{n}{i} BI公司\如果b_n=\sum_{i=0}^n（-1）^i\binom{n}{i} a_i$$ Pf。我们可以计算$$\sum_{k=0}^n（-1）^{k+m}\binom{n}{k}\binom{k}{m}=\binom{n}{m}\sum_{k=0}^n（-1）^{km}\binom}n-i}{km}=\δ{nm}$$