如何找到所有递增序列$\{a_I\}_I=1}^{\infty}$，使$d（x_1+x_2+\cdots+x_k）=d（a_{x{1}}+a_{x{2}}+\cdot+a_x{k}}）$？

Question

如何找到所有递增序列$\{a_i\}_i=1}^{infty}$，从而使$$d（x_1+x_2+\cdots+x_k）=d（a_{x_{1}}+a_{x_2}}+\cdot+a_x_k}}），$$对所有$k$元组$（x_1，x_2，\cdots，x_k$k\geq 3$是固定整数吗？

今年的伊朗奥运会上给出了这个问题的一个特例：

查找所有递增序列$a_1、a_2、a_3…$对于每个$i，j\in\mathbb N$，$i+j$和$a_i+a_j$的除数相等。

Answer 1

对于$k$prime，你可以使用与$k=2$相同的参数：你看$p$prime的索引$i_p=k^{p-2}$$k*a{ip}$有$p$因子，因此对于某些素数$q$，必须是$q^{p-1}$的形式，但由于它可以被$k$整除，$q=k$。所以我们有一个无限的索引序列，其中$a_n=n$，我们可以利用序列增加的事实来证明$\对于所有的n\空间a_n=n$。

非实时$k$有点棘手，但我认为你可以做类似的事情。