为什么$X=L_1[t1，t2]上没有由非负函数定义的正锥的内点$

Question

这个问题源于我读这本书向量空间法优化作者：David Luenberger。为了增加上下文，我首先介绍本节的相关背景：

第8.2节正锥和凸映射

通过引入定义给定空间中正向量的锥，可以考虑抽象向量空间中的不等式（优化）问题。

定义。让$\mathrm{P}$是向量空间中的凸锥$\mathrm{X}$。对于$x，\y\\in\mathrm{x}$，我们写$x\geq年$（关于$\mathrm{P}$)如果$x-y\in\mathrm{P}$.圆锥体$\mathrm{P}$定义这种关系称为中的正锥$\mathrm{X}$.圆锥体$\mathrm{N}=-\mathrm{P}$称为负锥体$\mathrm{X}$然后我们写$y\leq x美元$对于$y-x\in\mathrm{N}$.

例如，在$\mathrm{E}^{n}$，凸锥$$P=\{x\in\mathrm{E}^{n}:x=（\xi_1，\xi_2，\ldots，\xi_n）；\xi_i\geq 0\\text{for-all}\i\}$$定义了普通正值。在实线间隔上定义的函数空间中，例如$【t1，t2】$，很自然地将正锥定义为包含空间中所有在区间上处处非负的函数$【t1，t2】$.

在赋范空间的情况下，我们写$x>0$如果x美元$是正锥体的内点$\mathrm{P}$。对于许多应用，必须$\mathrm{P}$具有一个内点，因此可以应用分离超平面定理。然而，这在许多普通赋范空间中是不可能的。例如，如果$\mathrm{X}=\mathrm{五十} _1个[第1、2页]$和$\mathrm{P}$作为区间上非负函数的子集$【t1，t2】$，我们可以很容易地证明$\mathrm{P}$不包含内部点。另一方面，在$\mathrm{C}[t1，t2]$非负函数的锥具有内点；因此，空间$\mathrm{C}[t1，t2]$对涉及不平等的问题特别感兴趣。

我的问题我很难理解为什么正锥体$\mathbf{P}$作为赋范空间中非负函数的子集$X=L_1[t_1，t_2]$不包含内部点。另一方面，在$C[t1，t2]$非负函数的锥具有内点。任何洞察力、直觉或例子都将被高度赞赏，以阐明为什么会出现这种情况。谢谢

Answer 1

OP中的语句实际上在非常一般的情况下有效：

让$（\Omega，\mathscr{F}，\mu）$成为一个测量空间。如果$1\leq p<\infty美元$，然后$L^+_p（\mu）$内部为空，除非$L_p（\mu）$是有限维的。

这里有一个证据（J.Glueck）：如果$L_p（\mu）$是无限维的，则存在无限序列$（A_n:n\in\mathbb{n}）$具有的两两可测集0美元<\mu（A_n）<\infty$.让$f\在L^+_p（\mu）\setminus \{0\}中$.很明显$\mu（f>0）>0$.作为$f\geq0美元$和$A_n$成对不相交，$$\大\|\sum_n\mathbb{1}_{A_n}f\大\|^p_p=\sum_n\|f\mathbb{1}_{A_n}\|^p_p\leq\|f\|^p$$由此可见N美元$这样的话$\|f\mathbb{1}_{A_N}\|_p<\varepsilon$.定义$$g=-\frac{\varepsilon}{\mu（A_N）}\mathbb{1}_{A_N}+f\mathbb{1}_{\Omega\set-muse-A_N}$$很明显$g\in L_p\set减去L^+_p$自从$g<0$关于一组正测度(0美元<\mu（A_N）<\infty$).$$\|f-g\|_p=\Big\|（f+\frac{\varepsilon}{\mu（A_N）}\Big）\mathbb{1}_{A_n}\大\|_p\leq 2\varepsilon$$作为$\varepsilon美元$是任意的，因此$L^+_p$内部为空。