计算非同构关系

Question

在$n$元素的集合$X$上，有多少非同构关系？一组$n$元素上的关系数是$|\mathcal{P}（X\times X）|=2^{n^2}$，但是有没有办法给出其中多少是非同构的？我对这个应用于模态逻辑的问题感兴趣。谢谢！

特别地，如果存在一个双射$\varphi:X\rightarrowX$，使得$\varfi（X）R\varphi（y）\LeftrightarrorxSy，我认为两个关系$R$和$S$是同构的$

Answer 1

$X$上的关系可以建模为顶点集$X$的图。由于确定图的同构类型的数量是一个难题，我想你的答案没有一个简单的答案，也没有关于非同构关系数量的简单公式。

添加这是顺序595在整数序列的在线百科全书中。我有点惊讶，这里确实给出了一个公式：$$a（n）=\sum_{1s_1+2s_2+\ldots=n}\frac{\operatorname{fixA}[s_1，s_2，…]}{1^{s1}s1!\cdot 2^{s2}s2!\cdot\ldots}$$哪里$$\operatorname{fixA}[s_1，s_2，\ldots]=2^{\sum_{i，j\geq1}\gcd（i，j）s_i s_j}$$我想这个公式是作为Cauchy-Frobenius引理.

Answer 2

下面是有关此计算的更多详细信息。我们解决了使用Polya枚举定理的问题，它实际上给出了更多信息，允许按边数。此计算与枚举非常相似此处显示的非同构图MSE公司链接.

我们需要计算的边置换群的循环指数上的完全二部图20亿美元$节点。这几乎与图的边置换群n美元$节点。唯一的不同的是，适当的群体是从行动中获得的对称群的美元（_n）$关于有序对而非无序对如边缘置换组中的对。这实际上简化了分析，因为偶数循环上的一对顶点不闭合遍历后的循环无/2美元$元素，但遍历所有循环。

根据循环指数，我们可以自由使用PET或Burnside。这个以下Maple代码从的循环索引计算此循环索引对称群。

pet循环名称：=进程（n）选项记忆；如果n＝0，则返回1；fi；展开（1/n*添加（a[l]*pet_cycleind_symm（n-l），l=1..n））；结束；宠物品种标识：=proc（多边形，ind）本地subs1，subsl，polyvars，indvars，v，pot；polyvars：=指数（poly）；indvars:=指数（ind）；subsl:=[]；对于indvars中的v dopot：=op（1，v）；子1：=[seq（polyvars[k]=polyvars[k]^pot，k=1..nops（聚合物）]；subsl：=[op（subsl），v=subs（subs1，poly）]；od；subs（subl，ind）；结束；pet_cycleind_rel：=进程（n）选项记忆；局部dsjc，扁平，p，cyc1，cyc2，l1，l2，res；如果n=0，则返回1；fi；如果n=1，则返回a[1]fi；分辨率：=0；对于pet_cycleind_symm（n）do中的dsjcp:=1；对于indets（dsjc）do中的cyc1l1：=op（1，cyc1）；对于indets（dsjc）中的cyc2 dol2:=op（1，cyc2）；p：=p*a[lcm（l1，l2）]^（度（dsjc，cyc1）*度（dsj，cyc2）*l1*l2/lcm（l1，l2））；od；od；res:=res+lcoeff（dsjc）*p；od；物件；结束；玻璃纤维：=进程（n）选项记忆；局部gf；gf:=宠物变种识别（1+z，宠物循环识别（n））；膨胀（gf）；结束；

这是的周期索引$n=3$:$$1/6\，{a{{1}}^{9}+1/2\，{a{2}}^{4} 一个_{{1}}+1/3\，{a{3}}}^{3}$$

这是给你的$n=4$:

$$1/24，{a{{1}}^{16}+1/4+1/3，{a{3}}^{5} 一个_{{1}}+1/8\,{a{{2}}^{8}+1/4\，{a{4}}^}4}$$

的替代循环指数$n=4$是$${z}^{16}+2\，{z}^{15}+9\，{z}^{14}+32\，{z{13}+95\，{z}^ 12}+203\，{z}^{11}+373，{z}^{10}+515，{z{9}\\+584+203\，{z}^{5}+95\，{z}^{4}+32\，{z{3}+9\，{z}^{2}+2\，z+1$$

这表明，例如。$515$非同构关系具有$7$边，当$n=4$

对于$n=5$我们得到$${\frac{1}{120}}\，{a{1}}^{25}+1/12\，{a{1}}^{9}{a{2}}^}^{8}+1/6\，｛a_｛3｝｝｝^｛7｝｛a_｛1｝｝｝^｛4｝+1/8\，｛a_｛2｝｝^{12} 一个_{{1}}\\+1/4，{a{4}}}^{6} 一个_{{1}}+1/6\，{a{2}}}^{2}{a{6}}^{2}{a{3}}^}3+1/5\，{a{5}}^5}$$

非同构二元关系的数量为$$2, 10, 104, 3044, 291968, 96928992, 112282908928, 458297100061728,\\6666621572153927936,349390545493499839161856,\\66603421985078180758538636288,\\46557456482586989066031126651104256,\\ 120168591267113007604119117625289606148096,\\1152050155760474157553893461743236772303142428672,\\4123344140168606792955188346937648664820973598636585435136，\ldots$$

这确实是OEIS A000595公司正如其他海报。计数不需要PET，可以通过以下方式获得燃烧侧，如下所示。

问：=进程（n）选项记忆；局部煤渣，vars；cind：=pet_cycleind_rel（n）；变量：=指数（cind）；sub（{seq（v=2，v in vars）}，cind）；结束；

注意这里的二部图是特殊的，包括20亿美元$具有的节点n美元$在左边和n美元$在右边，都标有$1$到n美元$。循环索引表示边上的操作对称群的同时作用S_n美元$关于两组标签。