\开始{align}&x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4\\[8pt]={}&\左（\左（\tfrac x y\右）^4+\左（\frac x y\左）^3+\左（\t rac x y\右）|2+\左={}&\大（u^4+u^3+u^2+u+1\大）y^4。\结束{对齐}自$y^4>0$除非在以下情况下$y=0$看看这个就够了$4$中的th次多项式美元$
从代数中回忆起$$（u-1）（u^4+u^3+u^2+u+1）=u^5-1。$$如果你解决了$u^5-1=0$对于$u（美元）$你会得到$5$的第个根$1$作为解决方案。德莫伊夫的公式说这些是$$\cos\tfrac{2\pik}5+i\sin\tfrac{2\pyk}5\text{对于}k=0,1,2,3,4。$$什么时候？$k=0$这个号码是$1$这是$u-1=0$所以其他四个是$u^4+u^3+u^2+1=0$由于这个多项式的系数是实的，所以根必须是复共轭对。这里我们注意到$k=1$和k美元=4$是彼此的复共轭，情况也是如此$k=2$和$k=3$所以我们有这些根：$$\cos\tfrac{2\pi}5\pmi\sin\tfrac{2\π}5\text{和}\cos\tfras{4\pi}5\fmi\sin\tfrac{4\π}5。$$因此\开始{align}&u^4+u^3+u^2+u+1 \\[8pt]=｛｝&\left（u-\left（\cos\tfrac｛2\pi｝5+i\sin\trac｛2\pi｝5\ right）\ right（u-\left（\cos\tfrac｛2\pi｝5-i\sin\trac｛2\pi｝5\ right）\ right）\\&{}\times\left（u-\left（\cos\tfrac{4\pi}5+i\sin\tfrac{2\pi}5\right）\right（u-\ left（\ cos\tfrac{2\\pi}5-i\sin\ tfrac{5\rift）\right）\[8pt]={}&\左（u^2-u\cos\tfrac{2\pi}5+1\右）\left（u^2-u\cos\tfrac{4\pi}5+1 \右）\结束{对齐}每一个都是一个二次多项式，其根不是实的。每个都有一个向上而不是向下打开的抛物线图。因此，每个因素都是积极的。
我把这个叫做代数而不是微积分。我还想，大多数修过微积分先修课的学生都不会很好地处理这一点。
