丢番图方程$xy-6（x+y）=0的解的个数，使得$x\leq y$

Question

问题是找到方程的整数解的个数$$xy-6（x+y）=0$$鉴于此，$$x\leq y美元$$

所以我继续说，

从第一个方程我得到$$x=\压裂{6y}{y-6}$$

把它放进第二个我得到了

$$\压裂{6y}{y-6}\leqy$$ $$\暗示\压裂{y（y-12）}{y-6}\geq0$$

所以，$y\英寸[0,6）\杯[12，\infty）$

我该如何从这里开始？由于y的可能值似乎无穷大，因此可以满足不等式。。。

Answer 1

你已经取得了很大的进步。当你得到$$x=\压裂{6y}{y-6}$$你应该把它写成$$x=\压裂{6y}{y-6}=\压裂}6（y-6）+36}{y-6}=6+\压裂{36}{y-6}$$从那以后x美元$是一个整数，我们必须有它36美元/（y-6）$换句话说，也是一个整数$（y-6）\mid 36$。这只剩下有限的值需要检查，我相信您可以这样做。

Answer 2

我只是觉得这种方法更容易：$$\开始{align}xy-6（x+y）&=0\\xy-6（x+y）+36&=36\\（x-6）（y-6）&=36=d1d2\\\至\开始{cases}x&=6+d1\\y&=6+d2\结束{cases}\结束{对齐}$$

对称方程，所以排列x，y美元$不会给你新的答案。也，$36=2^23^2$有9美元$除数。它们可以分解为$5$成对的除数，包括一个具有两个相等因子的除数。否定每对除数也会产生一个新的答案。这意味着你已经$10$积分解。