如何计算$\sum_{n=2}^\infty n（n-1）x^n$？[副本]

Question

我如何评估$\显示样式\sum_{n=2}^\输入n（n-1）x^n$?

多亏了Wolfram Alpha，我知道了答案，但我更关心的是如何得出这个答案。

Answer 1

提示：如果$f（x）=\sum x^n$然后$f“”（x）=\总和n（n-1）x^{n-2}$

你需要注意诸如精确限制之类的事情。

Answer 2

我们可以推理$$\sum_｛n\ge2｝n（n-1）x^n=x^2 \frac｛d^2｝｛dx^2｝\sum_｛n\ge2｝x^n=x^2 \frac｛d^2｝｛dx^2｝\frac｛x^2｝｛1-x｝=x^2 \frac｛d^2｝｛dx^2｝\left（\frac｛1｝{1-x}-1-x\右）=\frac{2x^2}{（1-x）^3}$$假如$|x|<1$.

Answer 3

让$$f（x）=\sum_{n=0}^\infty x^n$$其收敛于1美元/（1-x）$什么时候$|x|<1美元$.考虑功能$x^2f“（x）$:$$x^2\left（\frac{d^2}{dx^2}f（x）\right）=x^2_sum_{n=0}^ infty n（n-1）x^{n-2}=sum_}n=0{^ inffy n（n-1）x^n$$另一方面，您可以为$x^2f“（x）$从开始$f（x）=1/（1-x）$。一旦您严格地显示了级数的收敛性，这将为您提供所需总和的闭合形式（当然，在从总和中删除前两项之后）。

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一般来说，对于多项式美元$，我们可以这样说$$\sum_{n=0}^\infty p（n）x^n=p（xD）\sum_{n=0.}^\ infty x^n=p（xC）\left（\frac1\1-x}\right）$$只要双方会合。这里，D美元$是微分算子。如果你感兴趣，你可以在书中阅读更多关于这种操作的内容生成函数学作者：赫伯特·威尔夫。