两个图形的面积、周长是否相同，线段数量是否相同，形状是否不同？

Question

我想制作一个算法，将所有具有相同形状的细节分组。每个细节都由其表面和轮廓线列表定义。

首先，我认为拥有相同的周长和相同的表面就足够了，但我看到了这一点链接这是一个错误的假设。

如果我把两个形状具有相同数量的线段作为附加条件，这就足够了吗？否则我怎么检查呢？

问题是，对于每个细节，它们都可以实现旋转或对称。

编辑：

谢谢你的回答，我终于找到了解决问题的方法（答案如下）

Answer 1

本着否定的精神回答相关问题：

Answer 2

受哈根·冯·埃岑（Hagen von Eitzen）答案的启发，一对特洛米诺（tetrominoes）提供了另一个反例（在波利米诺（polyominoes）中最少）：

Answer 3

不，这还不够。即使是四边形也不够。拿一个侧面的风筝$1,1,3,3$以及两者之间的角度$1$是一个直角。周长是$8$面积是$12（1+\sqrt{17}）$现在取一个侧面为$2$。它的周长也为$8$你可以选择角度使区域匹配。对于更多的球队来说，情况更糟。面积和周长只是两个约束，同时还有很多自由度。

Answer 4

可能是最简单的反例：用长度不等的线段形成三角形的两侧。一种是镜像，另一种是旋转180°。

Answer 5

嗯，我终于做到了，但时间比预期的要长：

我的形状由以下列表定义轮廓元素，轮廓由2个点和半径定义。如果这是一段，那么半径=0，如果这是圆弧，如果我在三角方向旋转，半径为正，如果相反，半径为负）。

我首先检查面积是否相等（只是为了更快地确定形状是否相等）。

对于每个形状，我按顺时针方向浏览每个线段（或圆弧），并返回3个结果：

• 线段长度列表（仅毕达哥拉斯，不检查半径）
• 每个线段/弧的半径列表
• 每个线段和连续线段之间的角度列表

然后我可以比较它们（考虑到我从每个图的相同点开始）。在C#中，我只是做了一个循环，尝试从不同的点开始。

如果三个列表都相等，则表示形状相等且没有旋转。

然后，对于对称性问题，我将重新计算上述3个列表中的第二个形状，但浏览相反方向的轮廓，如果结果相等（角度和半径正好是相反的符号），那么它就是具有对称性的相同形状。

Answer 6

1966年提出了一个著名的问题，”你能听到鼓的形状吗？“也就是说，你能找到两个光谱相同的不同平面畴吗？众所周知，任何两个这样的畴都必须具有相同的面积和周长。20世纪90年代初，戈登、韦伯和沃尔伯特否定了这个问题。下面是他们的示例：

注意，边数也是一样的，所以这个答案是OP的问题，附加了更多的条件。

Answer 7

是的，正如其他人所演示的那样，在给定相同面积、周长和线段数量的情况下，可以有不同的形状。

此外，在我看来，给定任意数量的度量，您可以有不同的形状。以这把看起来很可怕的钥匙为例：

你可以很容易地想象出无限多个这样的键，每个键都由7个数字唯一表示。对于此键，这些值为2、3、1、2、3，1、2。

这些不需要是整数。

你可以想象一把百万齿的钥匙是用一百万个数字唯一表示的。

现在，从技术上讲，你可以用一个实数来表示一百万个实数。然而，我不相信任何这样的函数进行这种转换是连续的，所以很可能对您没有用处。当它们不是连续的时，您会得到像5.213283和5.213284这样的度量值，它们代表了截然不同的形状。

我会考虑周长和面积很好的连续指标。对多边形点的任何微小扰动都会导致这些值发生微小变化。

注：我可能完全错了。我期待着今天晚些时候能看到这段视频。