所有符号都等于导数吗？

Question

在这里我读到了

假设你有一个一般函数：y=f（x）。以下所有内容符号可以理解为“y对x的导数”或不太正式的“函数的导数”：f'（x）,f’,是的',df/dx（df/dx）,年月日,d/dx[f（x）].

如果我想描述导数在某一点的值，我会写f'（3）例如，而不是df（3）/d3。我不确定后者在语法上是否有效，因为我从未见过它。是否可以用所有这些符号来描述某个特定导数的值x个? 如果是，那么如何？如果不是，那么为什么？数学中有抽象和具体的符号吗？

Answer 1

导数的所有符号：$$f'（x），\quad\frac{df}{dx}，\qua2\frac}｛dx｝f（x） ，\quad\frac｛df｝｛dx｝（x），\quad\frac｛df（x）｝｛dx｝$$是等效的。然而，如果我们更换x美元$如果使用常量，其中一些符号就不再有意义了。莱布尼茨记数法（后四种，即带有$\压裂{d}{dx}$)，我们正在考虑导数$\frac｛d｝｛dx｝$作为操作人员作用于函数$f（x）$（或$f美元$). 所以如果我们要写$$\压裂{d}{dx}f(3),$$这似乎意味着微分算子作用于常量值$f（3）$但我们只是对一个常数进行微分，这个常数为零。另一方面，符号$f'（3）$被解释为插入$x=3$到函数中$f'（x）$，微分算子已经起作用$f（x）$在插入值之前。在这种情况下$f'（3）$不为零（通常）。如果您想使用莱布尼茨符号实现插入常量值的效果，我们通常使用$$\左。\压裂{df}{dx}\right\vert_{x=3}\quad\text{或}\quae\left（\frac{df}}{dx}\right）（3）$$尽管我应该警告你，后者是相当罕见和不标准的。在任何一种情况下，符号都清楚地表明，微分是首先完成的，常量值的插入是第二步完成的。

Answer 2

所有不在两端的都是相等的，因为它们都表示相同的东西。最后一个，我从未见过。第一个是“接近”——我会讲到这一点。

然而，实际上你在这里问了一个很好的问题，即，如果我们有

$$\压裂{df}{dx}$$

我们如何用这个符号写出$x=3$是？对此“最好”的回答是，我们必须明确区分三种不同的事物：

1. 符号的含义”$f（x）$",
2. 符号的含义”$f美元$“、和
3. 什么样的“事物”，“差异化”是什么。

而这些东西通常不会像可能的那样被触及，也不会在需要的时候被触及$f（x）$是不一个函数，尽管它经常被这样的调用所滥用。相反，它是的值函数位于x美元$，如果x美元$是一个尚未赋值的变量，此值也未指定（除了它必须在函数范围内）。那就是，$f（x）$是（可能未指定）的符号数.

什么$f美元$另一方面，是这个功能它本身：一个数学对象，你可以把数字插入其中，得到其他数字。因此，你应该理想情况下，从未说“功能$f（x）$“，当你真正的意思是”函数$f美元$”，根据上述理解。

现在是最后一部分。什么是“差异化”，就是所谓的操作人员，或a高阶函数：它是一个接受其他功能作为输入和弹出式功能。此类事物通常通过在其符号前面加前缀来表示与功能符号相对：所以在这里，你应该$\压裂{d}{dx}f$，缩写为$\frac｛df｝｛dx｝$，这就形成了一个组合功能符号.

因此，如果您希望值为$x=3$我认为你应该“最好”写

$$\左[\frac{df}{dx}\右]（3）$$

这意味着评估由符号表示的函数$\压裂{df}{dx}$在3因此，这也同样适用于更高的导数，例如。

$$\左[\frac{d^2f}{dx^2}\右]（3）$$

等等。

当然，如果你再想一想，技术上我们不应该写这样的东西

$$\压裂{df}{dx}+x$$

尽管这很常见，例如在写微分方程时，你可以“逍遥法外”，因为人们通常都知道你的意思。这是因为在这里，x美元$是一个数、和$\压裂{df}{dx}$是一个功能。要“绝对”正确，你有两个选择：要么降级$\压裂{df}{dx}$到一个数字，这将使它

$$\左[\frac{df}{dx}\右]（x）+x$$

或，至促进 x美元$到功能，在这种情况下，如果不想给出另一个函数符号，则必须使用匿名函数符号

$$\frac{df}{dx}+\左（x\mapstox\右）$$

其中任何一个都是完全正确的数学表达式（尽管要记住，它们实际上有不同但相关的含义！它是什么？）但是因为它们有点笨拙，所以我们接受“错误的”符号作为速记：它被称为“符号滥用”。只要你清楚地理解发生了什么，这并没有什么错，你可以通过试着把它翻译成严格正确的（如果不是通常使用的）符号来检查。就像学习一门外语一样，在典型的语言中，我们永远不会完全遵循语法规则，但我们总是试图首先学习理想形式，学习数学语言时，我们应该记住同样的原则。