证明$p$是素数当且仅当商环中没有零因子。

Question

R美元$是阶乘环，并且$p\卢比$是非零不可逆元素。我需要证明美元$是素数当且仅当商环中没有零因子R/（p）美元$.
以下是我所做的：
自$p\单位：R$哪里美元$是阶乘环，并且美元$是非零不可逆元素$p=p_1\次\点\次p_n$哪里$p_i$是的素数1美元$还有，我知道美元$称为环的零因子R/（p）美元$如果$\存在b\ne0:ab=ba=0$问题是我不知道如何处理所谓的商环。

Answer 1

假设美元$是质数，我们假设$（a+（p））（b+（p$根据商环中乘法的定义，这意味着$ab+（p）=（p）$，因此$p|ab美元$.自美元$我们的结论是$p|a美元$或$p|b美元$这意味着美元+（p）=（p）$或美元+（p）=（p）$.所以R/（p）美元$没有零除数。

对于另一个方向，假设R/（p）美元$没有零因子，并假设$p|ab美元$.然后$（p）=ab+（p）=（a+（p$.由于没有零因子，我们得出结论：美元+（p）=（p）$或美元+（p）=（p）$也就是说$p|a美元$或$p|b美元$.

Answer 2

$$\begin{align}p\\lnot\rm prime \iff&\\p\\mid\ab，\\p\\nmid \a，b，\\{rm some}\a，b\in R\\[2em]\iff&\\0=\bar a\bar b，\\0\neq\bar a，\bar b、\\{rm some}\\bar a、\bar b\ in R/p\\[.2em]\iff&\R/p\\text{有零除数}\end{align}\qquad\qquad$$

Answer 3

提示:

$p\mid x\iff x\equiv 0\mod p\iff\bar x=\bar 0\：\text{in}\：R/（p）$。您可以使用欧几里得引理.