在试图解决ODE系统解耦的物理问题时，我发现自己需要解决以下问题：
让$A_n\in M_n（\mathbb R）$成为所有人的矩阵$1$s在其主对角线上方，所有$-1$s低于其对角线，以及$0$到处都是。是$A_n美元$总是可以对角线的？如果是，它的对角化是什么（等价地：它的特征值和相应的特征向量是什么）？
例如，$$A_3=\开始{bmatrix}0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\结束{bmatrix}，\四A_5=\开始{bmatrix}0&1&0&0&0 \\-1&0&1&0&0\\0&-1&0&1&0 \\0&0&-1&0&1 \\0&0&0&0&-1&0\end{bmatrix}$$
假设我的代码是正确的，数学软件已经能够验证$A_n$始终可对角线到$n=1000$。如果我们使用$\chi_n（t）\in\mathbb Z[t]$表示的特征多项式$A_n$，一个简单的评估也表明$$\chi_n（t）=-t\chi_{n-1}（t$$对所有人来说$n\geq4美元$此外，请注意$A_n=-A_n^t$因此，在尺寸为偶数的情况下，$$\det（A_{2n}-\λI）=\det（A_{2n}^t-\lambda I）=\ det（-A_{2n}-\λI）=\det（A_｛2n｝+\λI）$$这意味着无论何时美元\lambda$是的特征值$A_{2n}$，也是$-\λ$换句话说，$\chi_{2n}（t）$总是这样$（t^2-\lambda _1^2）（t^2-\lambda _2^2）\dotsm（t^2-\lambda _n^2）$对一些人来说$\lambda_i$.
这就是我被困的地方。为了$A_n$为了是可对角化的，我们必须使所有的特征值都是不同的，但试图使用递推$(1)$而强大的归纳法，或试图使用偶数公式都没有帮助。似乎最有可能的攻击线是以某种方式表明$$\chi_{2n}'（t）=2t\sum_{k=1}^n\frac{\chi_2n}（t）}{t^2-\lambda_k^2}$$从不与共享公共零$\chi_{2n}$（这将解决偶发事件），尽管我不知道如何实现这一点。
注：我不知道如何实际找到特征值/特征向量，即使在$A_n$是可对角线的。因此，即使有人不能回答问题的第二部分，但可以证明$A_n$是可对角线的，我也希望能得到这个答案。上面我试着看一个特殊的例子，其中维度是偶数，当然这是所有奇数和偶数的证明n美元$更有价值。即使这不可能，出于我的目的，我只需要一个无界子集$S\subseteq\mathbb Z$其结论已被证明$n\单位：S$因此，任何此类方法都是受欢迎的。
提前谢谢！
