将$\mathbb Z_4\times\mathbbZ_2$显示为一个组

Question

我被问到这个问题：

让P美元$成双成对（a，b）美元$哪里$a\in\Bbb Z_4$、和$b\in\Bbb Z_2$

手术，$*$，定义为：$$（a，b）*（c，d）=（a+c\pmod 4，b+d\pmod 2）$$为所有人P中的$（a，c），（b，d）$

我如何证明这是一个团队？

我知道如何通过公理来处理乘法表，但我不知道如何将这些应用于这个问题，也不知道这是否是最好的方法

Answer 1

关联性以下是$（\Bbb Z_4，+4）$和，共$（\Bbb Z_2，+_2）$.

这个身份是$（0\pmod4，0\pmod 2）$.（为什么？）

这个反向属于（a，b）美元$在下面$*$由提供$（-a，-b）$自从$$\begin｛align｝（a，b）*（-a，-b）&=（a+（-a）\pmod 4，b+（-b）\pmod 2）\\&=（0\pmod 4，0\pmod2）。\结束{对齐}$$

关闭从关闭$\Bbb Z_4美元$在下面$+_4$和，共美元\Bbb Z_2$在下面$+_2$.

Answer 2

一般来说，集团$G\乘以H$（用于组$G、H$)在笛卡尔乘积（集合）中包含元素G美元$和H美元$，以及按组件定义的群运算：$（g_1，h_1），（g_2，h2）\以g计\乘以h$由定义$（g_1，h_1）（g_2，h2）=（g_1g_2，h_1h_2）$总是给一个小组。这是因为关联性遵循的是G美元$和H美元$，身份是$（1_G，1_H）$。您可以检查其他组公理，这些公理都遵循以下事实$G、H$是组。小组$G\乘以H$被称为直接产品属于G美元$和H美元$.

特别是，你只需要$\mathbb Z_4$和$\mathbb Z_2美元$成为小组来证明你的结论。