连通图证明

Question

让G美元$是一个连通图亿美元$顶点和百万美元$边缘。

a） 证明这一点G美元$至少包含$m-n+1$不同的周期。

我的尝试：感应开启百万美元$

基本情况:$m=n-1$:G美元$是一棵树。$m-n+1=m-1-n+1=0$这是因为树有0个循环

归纳假说：假设一个连通图亿美元$顶点和百万美元-1$边缘至少有$m-1-n+1=m-n$清晰的边缘。

感应步进：假设G美元$与连接亿美元$顶点和百万美元$边缘。让美元$处于G美元$.然后美元G-e$与连接百万美元-1$边缘。根据归纳假设，美元G-e$至少有百万美元$不同的周期。所以G美元$至少有$m-n+1美元$不同的周期。

我不确定归纳步骤（特别是如果我能用最后一行结束）

b） 证明如果G美元$是二分的，那么G美元$至少包含3美元（百万富翁+1）+1$不同的生成树。

我不太确定我是否有正确的方法来解决这个问题，但我用归纳法证明了百万美元$再一次，我被困在感应台阶上。我很确定我将不得不以某种方式使用第a）部分，但我不知道如何使用。任何提示都会很有帮助

Answer 1

我认为你有正确的想法，但尝试归纳可能会使问题变得更难处理。

试试这个：让G美元$是一个连通（简单）图亿美元$顶点和百万美元$边缘。自G美元$已连接，$m\geq n-1美元$，所以让我们$m=n-1+k$对一些人来说$k\in\mathbb{Z}（Z）_{\geq 0}$回想一下，任何连通图都包含生成树$T_0美元$作为子图，它必然具有n-1美元$边和0个循环。让$\｛e_1、e_2、\ldots e_k\｝$表示不在$T_0美元$.

现在想想当我们添加$e_1=（v_1，v_2）$进入之内$T_0美元$.自$T_0美元$生成树是否存在来自的路径$v_1$到$v_2$在里面$T_0美元$。因此添加美元e_1$到这条路会产生一个循环。让美元T_1$表示由以下内容组成的子图$T_0美元$具有$e_1美元$.

现在考虑添加$e_2（美元）$。您将看到，通过相同的参数，我们将至少生成一个新循环，以及结果图T_2美元$将至少有2个循环。继续这样，我们可以看到G美元$其本身必须至少包含千美元$周期，但$k=m-（n-1）=m-n+1$根据需要。

对于（b）部分，（a）部分告诉您，您至少有（百万+一）美元$循环。要形成生成树，基本上只需从每个循环中删除一条边。想想有多少种方法可以做到这一点（记住二分图没有奇数循环），你应该得到答案。