软问题-证明数字$p$是质数[重复]

Question

我是一名高中生，目前正在使用这本书自学数论初等数论作者：David Burton。目前，我正在做第三章：素数及其分布。我注意到，经常会出现这样的问题-

如果[条件]，则证明美元$是质数。

这是一个非常普遍的问题，但本质上我要问的是，你证明某个数满足什么条件，才能说它是素数？例如，在可分性的情况下，我们经常使用以下论点$a|1$来证明这一点美元=1$以及其他类似的一般技巧。

例如，在这个问题中-

如果美元$和$p^2+8美元$都是质数，然后证明$p^3+4$也是质数。

在这里，我甚至无法开始证明这个问题，不是因为我不知道该怎么做，而是因为我不清楚需要用什么样的论点来证明一个数是质数。

如果我们想证明一个数是素数，是否有一些一般性的论点？

Answer 1

要回答更一般的问题，有几种方法可以这样做，这取决于上下文。我想说，最常见的方法之一是通过矛盾证明：假设美元$不是质数，则存在一个$d>1$具有$d\mid便士$。然后，我们尝试使用d美元$这最终与问题的条件或其中一个假设相矛盾$d>1，d\中p$另一种方法可以是使用某些定理，使问题的条件很好地拟合，从而给出所需的结果；一个明显的例子当然是威尔逊定理，它指出一个正整数美元$是prime iff$（p-1）=-1$国防部美元$.

Answer 2

让我们看看这个模$3$.

如果$p=0$国防部$3$、和$p\n第3项$，然后美元$不是质数。如果$p=1$国防部$3$，然后$p^2+8=0$国防部$3$（和$\neq 3个$)所以它不是质数。如果$p=2$国防部$3$，然后$p^2+8=0$国防部$3$（和$\neq 3个$)所以它不是质数。

所以唯一可能美元$和$p^2+8美元$黄金就是这样$p=3$.

在这种情况下，$p^3+4=31$也是最好的。

一般来说，考虑到你的数模是一个“小”的适当数，可以有效地推导出它的一些条件。。。