$S_4$中每两个顺序为$2$的排列都是共轭的

Question

我试图解决以下问题：

证明或反驳：每两次顺序排列$2$在里面S_4美元$是共轭的。

我试图反驳：$\西格玛{1}=（2,3）$和$\西格玛{2}=（1,2）（3,4）$所以S_4中的$\sigma_1、\sigma_2\$。此外

$$\sigma{1}\cdot\sigma{1}=id\Rightarrow o（\sigma-{1}）=2\\\sigma_｛2｝\cdot\sigma_｛2｝=id\Rightarrow o（\sigma_｛2｝）=2$$

让我们检查一下共轭：

$$\tau^{-1}（1,2）（3,4）\tau=（2,3）\Leftrightarrow（\tau（1），\tau$$

它们有不同的结构，所以它们不是共轭的。

我的证明有效吗？

还有$\tau^{-1}（1,2）（3,4）\tau$和$\tau（1,2）（3,4）\tau^{-1}$? 他们都相等吗$（\tau（1），\tau（2））（\tau（3），（\tau（4））$?

编辑：如果两个排列的顺序是$3$? 我认为在这种情况下，定理是正确的。考虑$\西格玛_1=（a，b，c）$和$\sigma_2=（x，y，z）$然后$\tau^{-1}（a，b，c）\tau=（x，y，z）$所以我们得到$（τ（a）、τ（b）和τ（c））=（x，y，z）$.但现在呢？

Answer 1

这很好。一般来说，有一个定理是S_n美元$是共轭的当且仅当它们具有相同的循环结构。你可以把它当作一个很好的练习来证明它。所以$(23)$和$(12)(34)$没有机会成为共轭的。另一方面$(12)$和$(23)$是共轭的，我们甚至不用检查就知道了。这是一个非常重要的定理。

编辑：请注意$\tau^{-1}（a，b，c）\tau=$，不是$（τ（a）、τ（b）和τ（c））$排列的组合是从右向左进行的，就像任何函数的组合一样。

Answer 2

两个循环美元\西格玛，\陶$在里面S_n美元$一般是共轭的，当它们具有相同的循环结构时。在这种情况下，因为美元\西格玛，\陶$有订单$2$、不相交循环通勤和n美元$-循环总是有顺序的n美元$，我们必须在循环分解的每个循环中美元\西格玛，\陶$具有订单划分$2$（尽管这并不总是一个足够的标准）。在这种情况下，这种说法是错误的，因为我们可以展示满足此标准的两种不同的循环形状：$（\cdot，\cdot）（\cdop）（\ cdot）$和$（\cdot，\cdot）（\ cdot，\ cdot）$正如你所观察到的，两者都有秩序$2$.

但假设我们没有在S_4美元$但是S_3美元$.然后因为美元\西格玛，\陶$都是订单$2$，这是素数，我们必须有一个长度循环$2$.那么我们必须有一个$1$-循环剩余，所以唯一的循环形状是$（\cdot，\cdot）（\ cdot）$因此，任何两个顺序循环$2$在里面S_3美元$是共轭的！

Answer 3

显然错误的是，任何两个共轭排列都具有相同的循环类型。

例如，$(12)$和$(12)(34)$两者都有第二个订单。

上述事实的相反也成立：相同循环类型的任意两个置换在S_n美元$因此，如果考虑顺序元素$3$，因为他们必须$3$-循环（原因？），它们是共轭的。