2个初等数论问题[闭合]

Question

所以回到我的I.Niven的旧数字理论书《数字理论导论》，我看到了这些问题：

问题1：找到数字的三元组$（x，y，z）$这样的话$x+y+z=119$且不超过$59?$

问题2：找到四个整数$（x，y，z，w）$，以便他们拥有财产$x\ge 0，y\ge 1，z\ge 2，w\ge 3$，并满足$x+y+z+w=15$

我会很感激对解决这些问题的深入解释

Answer 1

这些是线性方程组，对于这些方程组，有一个既定的算法要根据参数化进行求解。我来回答第一个问题；看看你能否把这个想法推广到第二个方面。回想一下，用两个变量求解一个线性方程$\mathbb Z美元$这样做：如果$ax+by=c$，然后找到特定的解决方案$（x_0，y_0）$。然后所有的解决方案都由下式给出$x=x_0-bt$,$y=y_o+在$，其中$t（美元）$范围覆盖所有整数值。（你能证明这一点吗？）现在让我们继续讨论三变量的情况。

设置$u+v=k美元$我们有联立方程$$\开始{案例}u+v=k，\\k+w=119.\结束{案例}$$如果我们治疗千美元$像第一个方程中的常数一样，我们得到了参数化$u=k-t1$,$v=t1$.治疗千美元$就像第二个变量一样，我们有$k=119-t_2$,$w=t_2$.现在，$u=k-t1=119-t_1-t_2$因此，所有可能的整数解均由下式给出$（u，v，w）=（119-t_1-t_2，t1，t2）$但这三个变量都不超过$59$，所以我们有界限119-t_1-t_2\leq59美元$,$1\leq 59美元$,$t_2\leq 59美元$换句话说，$t1、t2$是任意两个整数，因此每个都不超过$59$他们的总和至少是$60$这提供了一个完整的准心房化，从而解决了问题。

Answer 2

你可以这样建模这些方程：
第一第2季度）
假设我们有15个相同的球，想把它们放在4个不同的篮子里，分别标记为x、y、z、w，这样篮子y必须至少有1个球在里面，篮子z必须至少有2个球在上面，篮子w必须有3个球在下面。
所以我们最初只需要在y、z和w三个篮子里分别放1、2和3个球就可以满足这些标准。现在我们还有15-（1+2+3）=9个球，还有3个篮筐，没有具体的标准：x+y'+z'+w'=9
现在，如果我们在9个球之间放置3个分隔符，将它们等价地放入4个篮子：第1、2、3和4部分分别对应于篮子x、y、z和w。
一种可能的划分如下：“{}|{OOO}|{}|{OOOO}“（“O”表示一个球，“|”表示分隔符）。其对应的答案是（x，y'，z'，w'）=（0，3，0，6）满足等式的x+y’+z’+w’=9.所以（x，y，z，w）=（0，3+1，0+2，6+3）是主方程的有效答案x+y+z+w=15.
所以问题是找到9个相同球和3个相同分隔符的所有线性排列。最后是有效（x，y，z，w）答案的数量：

$\压裂{（9+3）！}{9！3！}=\压裂{{12}\times{11}\timers{10}}{6}=220$

第1季度）
问题是找到满足以下等式的（x，y，z）答案的数量：

$D\sim[{x+y+z=119；{0}\leq{x}\leq{59}，{0}\ leq{y}\lequeq{59{}，}0}\leq{z}\leg{59}}]$

现在让我们：

$I\sim[{x+y+z=119；{0}\leq{x}，{0}\ leq{y}，}\leq{z}}]$
$I_1\sim[{x+y+z=119；{60}\leq{x}，{0}\leq{y}，}$
$I_2\sim[{x+y+z=119；{0}\leq{x}，{60}\leq{y}，}0}\leq{z}}]$
$I_3\sim[{x+y+z=119；{0}\leq{x}，{0}\ leq{y}，}60}\leq{z}}]$

通过包含-排除-身份，我们拥有：

$D={\bar{I_1}}\cap{\bar}{I_2}}\cap{\bar\I_3}}=\上划线{（{I_1{\cup{I_2{\cup{I_3}）}=I-（I_1+I_2+I_3-{I_1}\帽{I_2}-{I_1}\帽{I_3}-{I_2}\帽（I_3}+{I_1}\帽）$

也：

${I_1}\cap{I_2}\sim[{x+y+z=119；{60}\leq{x}，{60}\ leq{y}，}0}\leq{z}}]\rightarrow不可满足$
${I_1}\cap{I_3}\sim[{x+y+z=119；{60}\leq{x}，{0}\leq{y}，}60}\leq{z}}]\rightarrow不可满足$
${I_2}\cap{I_3}\sim[{x+y+z=119；{0}\leq{x}，{60}\leq{y}，}60}\leq{z}}]\rightarrow不可满足$
${I_1}\cap{I_2}\cap{I_3}\sim[{x+y+z=119；{60}\leq{x}，{60}\ leq{y}，}60}\leq{z}}]\rightarrow不可满足$

所以答案是：

$D=\frac{（119+2）！}{119！2！}-{3}\次{\frac}（119-60+2）$