如果一阶导数在某一点不存在，它不是临界点吗？

Question

说$f'（x）$函数的$（x+2）\超过（x+3）$.如果$x=-2$然后$f'（x）$=0，这意味着此时会出现局部最小值或最大值。但如果$x=-3$? 它不存在于$f'（x）$，那么我们就忽略它了吗？将其声明为DNE$x=-3$所以这不是一个关键点？

Answer 1

正如数学中经常出现的情况一样，归根结底要从一个好的、坚实的定义开始。以下是几个合理的起点：

发件人维基百科:

在数学中，实变量或复变量的可微函数的临界点或驻点是任意值在其领域内其中其导数为0。一些作者还将任何极限点归类为临界点，其中。。。导数未定义。[强调我的]

发件人数学世界:

A函数$y=f（x）$在所有点上都有关键点$x_0美元$哪里$f'（x_0）=0$或$f（x）$不可微。函数具有临界点，其中梯度$\nabla f=\mathbf{b}$或$\部分f/\部分x$或偏导数$\部分f/\部分y$未定义。

发件人托马斯微积分:

安内部点函数域的$f美元$哪里$f’$为零或未定义为临界点属于$f美元$.[粗体强调我的]

请注意，维基百科和托马斯微积分定义函数的临界点$f美元$成为领域中的点$f美元$（托马斯更进一步，只考虑领域内部的点）。MathWorld定义并没有做出这种限制，它对可微性的定义也不够精确，不需要任何限制。

我们还应该考虑目标定义临界点。在初级微积分课程中，目标通常是转到优化问题。在优化问题中，我们寻找极值（a）在导数为零的地方（费马定理），（b）在域的边界点，以及（c）在导数不存在的域点。因此，我们可能需要定义临界点，以便看到这三种行为。因此，我建议将临界点正确定义如下（用于微积分类）：

定义：一临界点函数的$f美元$是一个点$x_0美元$在…领域$f美元$这样$f'（x_0）=0$或$f'（x_0）$未定义。

注意，导数通常被认为在集合的边界上是未定义的，所以这个定义适用于我们感兴趣的所有三类点，而不会引起问题。

最后，将此定义应用于您的问题，$x_0=3$不是的关键点$$f（x）=\压裂{x-2}{x-3}$$自从$x_0=3$不在的域中$f美元$，至少不像通常理解的域那样（我想我们可以处理扩展实数）。

Answer 2

我认为在基本微积分水平上最简单的解释就是简单地说不，这不是一个临界点。因此，如果我们想对一个没有到处定义导数（或函数本身）的函数进行优化，那么在推导时，你应该考虑函数的“形状”，而不是总是写$f'（x）=0$例如，如果您希望最小化1美元/倍$，将其导数设置为$0$你会得到$1=0$从而得出结论，没有关键点。事实上，如果你看一下图表，没有任何“丘陵”或“山谷”。然而，可以说它的最小值是任意大的，有时甚至更大$-\英寸$在许多情况下。

Answer 3

的导数$|x美元|$不存在于$0$。不过，这是唯一的局部极值，所以你最好不要把它扔掉。。。

Answer 4

引用维基百科：

在数学中，实变量或复变量的可微函数的临界点或驻点是其导数所在域中的任何值$0$一些作者还将函数可通过连续性延长或导数未定义的任何极限点归类为临界点。

可以找到上述定义在这里。

因此，这一切都归结为你想要定义的临界点。最标准的定义（例如在动力系统中使用）是导数等于零的情况。如果是这样的话，不，这不是一个关键点。

另一方面，如果你想在临界点的定义中包含导数未定义的任何点，那么是的，$x=-3$是一个关键点。