将右半平面映射到单位圆盘的特殊Mobius变换

Question

找到Mobius变换，该变换将右半平面映射到单位圆盘，并将点$z=15$映射到原点。

由于Mobius变换将点$z=15$带到原点，所以我可以说它有以下形式

$$T（z）=k\frac｛z-15｝｛z-c｝，\：\：\：\text｛其中$k，c$是复数｝$$

现在我知道Mobius变换保持了对称性。我需要找到一些关于上半平面的对称点。

如果我没弄错的话，我认为任何纯虚数$iy$和$-iy$都是相对于上半平面对称的（但我不确定这个说法）。如果你能帮我了解一下哪两个点在右半平面上是对称的，我将不胜感激。

Answer 1

通过对称性，您可以首先说$T（0）$应该是$1$，所以$\frac{-15k}{-c}=-1$，即$c=-15k$。特别是$T（z）=\frac{z-15}{z/k+15}$。类似地，$T（\infty）$应该映射到$1$，因此$k=1$和$T（z）=\frac{z-15}{z+15}$。注意，$T（0）=-1$或$T（infty）=1$都不是必要的生成这个地图，但Mobius地图是在三个点上定义的，这些似乎是明智的选择。

不难验证这个映射是否也满足要求：只需检查假想轴的图像是单位圆，由于$15$映射到$0$，我们知道右半平面映射到单位圆盘。

这个映射不是唯一的：例如，任何对$\theta\in\tathbb{R}$的$e^{i\theta}$的后乘法都会给出另一个有效映射。