这是一个直接反映论文历史观点的答案矩阵理论回忆录作者：Authur Cayley，1857年。此论文可用在这里.
本文被誉为“包含矩阵的第一个抽象定义”和“定义加法、乘法、标量乘法和逆的矩阵代数”(来源).
本文使用了非标准符号。我会尽我所能把它放在一个更“现代”（但仍然不标准）的符号中。这篇文章的大部分内容将来自第20-21页。
为了引入符号，$$（X，Y，Z）=\左（\开始{数组}{ccc}酒店和客房\\a'&b'&c'\\a“”&b“”&c“”\end{数组}\right）（x，y，z）$$
将表示一组线性函数$（ax+by+cz，a'x+b'y+c'z，a''x+b''y+c''z）$然后被称为$（X、Y、Z）$.
凯利定义了加法和标量乘法，然后转向矩阵乘法或“合成”。他特别想处理以下问题：
$$（X，Y，Z）=\左（\开始{数组}{ccc}酒店和客房\\a'&b'&c'\\a“&b”“&c”“结束{数组}\right）（x，y，z）\quad\text{其中}\quad（x，y，z）=\left（\begin{array}{ccc}\α&\β&\γ\\\阿尔法'&&\贝塔'&&\伽马'\\\alpha“”&\ beta“”&\ gamma“”\\\\end｛array｝\right）（\xi，\eta，\zeta）$$
他现在想代表$（X、Y、Z）$依据$（\xi，\eta，\zeta）$他通过创建另一个满足等式的矩阵来实现这一点：
$$（X，Y，Z）=\左（\开始{数组}{ccc}A&B&C公司\\A'&B'&C'\\A“&B”“&C”“\\end{数组}\right）（\xi，\eta，\zeta）$$
他继续写道，我们获得的价值是：
$$\开始{align}\left（\begin{array}{ccc}A、B、C\\A'&B'&C'\\A“&B”“&C”“\\end{array}\right）&=\ left（\begin{array}{ccc}酒店和客房\\a'&b'&c'\\a“”&b“”&c“”\end{array}\right）\left（\begin{array}{ccc}\α&\β&\γ\\\alpha'&\beta'&\gamma'\\\alpha“”&\beta“”&\ gamma“”\\end{array}\right）\\[.25cm]&=\left（\begin{array}{ccc}a\alpha+b\alpha'+c\alpha''&a\beta+b\beta'+c\ beta''&a \gamma+b\gamma'+c\gamma''\\a“\alpha+b”\alpha'+c'\alpha“&a”\beta+b'\beta'+c'\beta'“&a“\gamma+b'\ gamma'+c''\gamma'”\\a“”\alpha+b“”\alpha“+c”“\alpha”&a“”\ beta+b“”\ beta“+c”“\ beta“”&a（）\ gamma+b“）\ gama“+c“”\gamma“”\end{数组}\right）\ end{align}$$
这是矩阵乘法的标准定义。我必须相信矩阵乘法的定义是为了处理这个特定的问题。本文继续讨论矩阵乘法的几个性质，如非交换性、单位零合成和幂运算。
以下是写作规则：
通过将第一个分量矩阵的对应行与第二个矩阵的几列连续组合，可以获得复合矩阵的任意行（第21页）
