从一组相同的事物中选择6个事物的方式

Question

如果一个由10名印度教徒、8名穆斯林和6名基督徒组成的政党至少由每个宗教的一个人组成，那么该政党可以通过多少方式从10名印度教徒、8名穆斯林和6名基督徒中选出6名男性（只考虑该人的宗教？

现在，我知道这个问题可以通过找到给定方程的非负积分解来解决，

$$x+y+z=6$$
答案是$\binom{6-1}{3-1}$

但我想知道还有其他方法可以解决这个问题吗？

任何帮助都将不胜感激。

Answer 1

根据给定条件的可能性数量如下：，$$(1,1,4), (1,2,3), (2,2,2)$$

现在我们找到了根据可能性选择不同宗教人士的方法。

1） 对于$（1,1,4）$，

选择人员的方式数量=$3！$。

但由于有2个1，每个选择将有两个副本。

由于我们只需要考虑他们的宗教信仰（这意味着特定宗教中的人是相同的），我们需要将结果除以2。这给了我们，

$\frac{3！}{2}=3$路

$（1,2,3）$

选择人员的方式数量=$3！$。

（注意，在这种情况下没有任何重复的数字！）

2） 对于$（2,2,2）$

选择人员的方式数量=$3！$。

现在，有3个重复的数字。

这意味着有3美元每个选择的副本。应用相同的逻辑，我们将结果除以$3！$。

$\压裂{3！}{3！{1$

将所有结果相加，

$3+3!+1 = 10$

Answer 2

星条旗

一旦我们预选了每种宗教中的一种，这就等于问“我们可以从9美元的印度人、7美元的穆斯林和5美元的基督徒中选择多少种3美元的男性？”$$x+y+z=3$$使用$x、y、z\ge0$。星条旗说$\binom{5}{2}=10$。

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正在生成函数

$$\开始{align}&\左[x^n\right]\过度竞争{（x+\cdots+x^{10}\right）}^{1\dots10\text{印度教}}\过度竞争{\left（x+\cdots+x^8\right）}^{1\dots8\text{Muslims}}\过度竞争{\left（x+\cdots+x^6\right）}^{1\dots6\text{基督徒}}\\&=\左[x^n\右]x^3\压裂{1-x^{10}}{1-x}\压裂{1-x^8}{1-x}\压裂{1-x ^6}{1-x-}\\&=\left[x^{n-3}\right]\frac{1-x^6-x^8-x^{10}+x^{14}+x^{16}+x^{18} -x个^{24}}{（1-x）^3}\\&=\left（\left[x^{n-3}\right]-\ left[x^{n-9}\right）-\ left[x^}n-11}\rift]-\ leaft[x_^{n-13}\rirt]+\ left[x^{n-17}\riight]+\ leaft[x_^}n-19}\ right]+\ laft[x~{n-21}\ right]-\ eleft[x${n-27}\ rift]\ right）\frac1{（1-x）^3}\\&=\textstyle（-1）^{n-3}\left[\binom{-3}{n-3}-\二进制{-3}{n-9}-\二进制{-3}{n-11}-\二进制{-3}{n-13}+\二进制{-3{n-17}+\进制{-3}}{n-19}+\量化{-3}{n-21}-\binom｛-3｝｛n-27｝\右[\[6pt]&=\bbox[5px，边框：2px实心#C0A000]{\textstyle\binom{n-1}{n-3}-\二进制｛n-7｝{n-9}-\二进制{n-9}{n-11}-\二进制{n-11}{n-13}+\二进制{n-15}{n-17}+\进制{n-17{n-19}+\{n-21}-\二进制{n-25}{n-27}}\结束{对齐}$$这是从10美元的印度人、8美元的穆斯林和6美元的基督徒中挑选一组n美元的人的方法，每个人至少有1美元。

对于$n=6$，其中唯一不是$0$的是$\binom｛n-1｝｛n-3｝=\binom｛5｝｛3｝$。

请注意，我们可以将最后一行缩减为$$\文本样式\二进制{n-1}{2}-\二进制{n-7}{2}-\二进制{n-9}{2}-\二进制{n-11}{2}+\二进制{n-15}{2{+\二进制{n-17}{2neneneep+\二进制}{2}-\二进制{n-25}{2}$$除了公式$\binom{n}{k}=\binom}{n-k}$只在$k$和$n-k$是非负整数时成立。

Answer 3

这样安排的方式有10种。

可能性有：

( 1 , 1 , 4)（1、2、3）( 1 , 3 , 2)( 2 , 2 , 2)( 2 , 3 , 1)( 2 , 1 , 3)( 3 , 2 , 1)( 3 , 1 , 2)( 4 , 1 , 1)( 1, 4 , 1)

遵循模式（印度教、穆斯林、基督教）