证明$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5^n（3^{5^{n+1}}-5\cdot3^{5 ^n}+4）}{（729）^{5*n}-（243）^{5$

Question

这个问题取自阿尔及利亚奥运会，要求证明

$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{5^n（3^{5^{n+1}}-5\cdot3^{5 ^n}+4）}{（729）^{5*n}-（243）^{5$$

注意到$729=3^6$和$243=3^5$，我尝试通过设置$x=3^{5^n}$来简化通用术语，但似乎没有给出任何简化。

提前感谢您的任何建议/想法。

Answer 1

我认为分母中的“$5\cdot 3^{5^n}$”是一个错误，可以证明$$\sum_{n=0}^\infty\frac{5^n（3^{5^{n+1}}-5\cdot3^{5 ^n}+4）}{3^{6\cdot5^n}-3^{5~n+1}-3^{5。$$

事实上$$\sum_{n=0}^\infty\frac{5^n（3^{5^{n+1}}-5\cdot3^{5 ^n}+4）}{3^{6\cdot5^n}-3^{5~n+1}{-3^{5~n}+1}=\sum_{n=0.}^\ infty\ left（\ frac{5 5^{n+1}}-1}\右）=\压裂{5^0}{3^{5^0}-1}=\压裂}1}{2}。$$

Answer 2

级数确实收敛（例如，通过比率测试），但它的和不是$\，\dfrac｛1｝｛2｝\，$，它严格大于$\，\dfrac｛1｝｛2｝\，$。前两项合计为$\dfrac{29}{59}$$+$$\dfrac{529555380145}{25630480435499}$ 0.512美元$$\gt\dfrac{1}{2}，$already，并且添加更多的正项只会进一步增加总和。

为了表明所有项实际上都是正的，只需注意，对于$\，x=3^{5^n}\ge3\，$both：

• 分子$\，5^n（x^5-5x+4）=5^n；

• 分母$\，x^6-x^5-5x+1=u^6+11u^5+50u^4+120u^3+160u^2+107u+23\ge0，$其中$\，u=x-2\ge0，$。

Answer 3

该系列是收敛的，但不会收敛到$0.5$。

该系列具有高度的收敛性，收敛到$0.512186580754$，大于$0.5$。

• 当$n=0$时，价值为$0.491525423729$
• 当n=1美元时，价值为0.512186580724美元$
• 当n=2美元时，价值为0.512186580754美元$
• 当n=3美元时，价值为0.512186580754美元$

这里是一个散点图，